要点梳理 1.对数的概念 （1）对数的定义 一般地,如果_，那么数x叫做以a为 底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底 数,_叫做真数.,a,N,2.5 对数与对数函数,基础知识 自主学习,ax=N(a0且a1),x=logaN,（2）几种常见对数 2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 =_;logaaN=_(a0且a1).,e,ln N,lg N,logaN,10,N,N,（2）对数的重要公式 换底公式: (a,b均大于零且不等 于1)； 推广logablogbclogcd= _. (3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)=_; =_;,logad,logaM+logaN,logaM-logaN,logaMn= _(nR); 3.对数函数的图象与性质,nlogaM,R,(0,+),(1,0),y0,y0,y0,y0,1,0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数y=ax与对数函数_互为反函数，它 们的图象关于直线_对称.,y=logax,y=x,基础自测 1.已知3a=5b=A,且 ,则A的值是_. 解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A, =logA3+logA5=logA15=2, A2=15,2.已知log7log3(log2x)=0,那么 =_. 解析 由条件知log3(log2x)=1,log2x=3, x=8, 3.若函数y=loga(x+b) (a0,且a1)的图象过两点 (-1,0)和(0,1),则a=_,b=_. 解析 由题意得,2,2,4.若f(x)=logax在2,+)上恒有f(x)1,则实数a的 取值范围是_. 解析 据题意a1,f(x)为增函数, 当x2,+)时,f(x)loga2. 故要使f(x)1恒成立, 只需f(x)min=loga21, 1a2.,(1,2),【例1】计算: (1)(log32+log92)(log43+log83); (2) 利用对数定义求值;利用对数的运算性质. 解,典型例题 深度剖析,分析,跟踪练习1 (2010泰州调研)化简求值: (1) (2)(lg 2)2+lg 2lg 50+lg 25. 解 (2)原式=lg 2(lg 2+lg 50)+lg 25 =2lg 2+lg 25=lg 100=2.,【例2】已知f(x)=2+log3x,x1,9,求y=f(x)2+ f(x2)的最大值及y取最大值时x的值. 先求函数的定义域,再求中间变量t=log3x的 值域,利用二次函数的图象求其最大值即可. 解 f(x)=2+log3x, y=f(x)2+f(x2) =(2+log3x)2+2+log3x2 = +6log3x+6 =(log3x+3)2-3. 函数f(x)的定义域为1,9,分析,要使函数y=f(x)2+f(x2)有意义, 1x3,0log3x1, 6y=(log3x+3)2-313, 当log3x=1,即x=3时,y=13. 当x=3时,函数y=f(x)2+f(x2)取最大值13.,跟踪练习2 求函数 在 2x4范围内的最值. 解 2x4,-2t-1. 当t=-1时,即x=2时,ymax= 当t=-2时,即x=4时,ymin=2.,【例3】对于函数 回答下列问题 (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)在-1,+)内有意义,求实数a 的取 值范围； (4)若函数f(x)的定义域为（-,1）(3,+)， 求实数a的值； (5)若函数f(x)的值域为(-,-1,求实数a的值； (6)若函数f(x)在（-,1内为增函数,求实数a的 取值范围. 综合应用对数有关性质.,分析,解 设u=g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2, (1)u0对xR恒成立,umin=3-a20, (2)f(x)的值域为R,u=g(x)的值域为(0,+) =4a2-120 实数a的取值范围是,(3)由函数f(x)在-1,+)内有意义, 知u=x2-2ax+30对x-1,+)上恒成立. g(x)的对称轴为x=a, 当a0即 解得-20的解集为x|x3 x2-2ax+3=0时两根为1和3, 2a=1+3即a=2.,(5)y=f(x)-1 u=g(x)的值域为2,+) 3-a2=2即a=1. (6)命题等价于 即所求a的取值范围是1,2).,跟踪练习3 已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间 （-, 上是单调递减函数.求实数a的取值 范围. 解 令g(x)=x2-ax-a, 由以上知g(x)的图象关于直线 对称且此抛物 线开口向上. 因为函数f(x)=log2g(x)的底数21, 在区间(-, 上是减函数, 所以g(x)=x2-ax-a在区间(-, 上也是单调 减函数,且g(x)0.,【例4】(14分)已知函数f(x)=logax (a0,a1)，如 果对于任意x3,+)都有|f(x)|1成立,试求a 的取值范围. 当x3,+)时,必有|f(x)|1成立，可以 理解为函数|f(x)|在区间3,+)上的最小值不小 于1. 解题示范 解 当a1时,对于任意x3,+),都有f(x)0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3,+)上为增 函数,分析,对于任意x3,+),有f(x)loga3. 4分 因此,要使|f(x)|1对于任意x3,+)都成立. 只要loga31=logaa即可,1a3. 6分 当0a1时,对于x3,+),有f(x)0, |f(x)|=-f(x). 8分 f(x)=logax在3,+)上为减函数, -f(x)在3,+)上为增函数. 对于任意x3,+)都有 |f(x)|=-f(x)-loga3. 10分,因此,要使|f(x)|1对于任意x3,+)都成立, 只要-loga31成立即可, 12分 综上,使|f(x)|1对任意x3，+)都成立的a的取 值范围是:(1,3 ,1). 14分,跟踪练习4 （2009从化期中） 已知函数f(x)= log4(4x+1)+kx(kR)是偶函数. (1)求k的值; (2)设g(x)=log4(a2x- a),若函数f(x)与g(x)的 图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围. 解 (1)由函数f(x)是偶函数可知 f(x)=f(-x), log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx, 即x=-2kx对一切xR恒成立,k=,(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点, 即方程 log4(4x+1)- =log4(a2x- a)有且只有 一个实根, 化简得:方程 有且只有一个实根, 令t=2x0,则方程(a-1)t2- at-1=0有且只有一个正根, 当a=1时,t= ,不合题意; 当a1,=0时,a= 或-3, 若a= ,则t=-2,不合题意;若a=-3则t= 一个正根与一个负根,即 0,则a1. 综上:实数a的取值范围是-3(1,+).,高考中常以填空题的形式考查对数、对数函数的图象 与性质,往往也有以解答题形式出现的综合题，与导 数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问 题.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,1.指数式ab=N与对数式logaN=b的关系以及这两种形 式的互化是对数运算法则的关键. 2.在运算性质logaMn=nlogaM时,要特别注意条件,在 无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|(nN*且n 为偶数). 3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式 在解题中的灵活应用.,方法规律总结,一、填空题 1.(2009全国改编)设 则a,b,c的大小关系为_. 解析 a=log31,b= log23b,ac. bc,abc.,abc,定时检测,2.(2009福建厦门模拟) 函数y=lg x+lg(x-1)的定 义域为A,y=lg(x2-x)的定义域为B，则A、B的关系 是_. 解析 由已知得 A=x|x1, 由x2-x0得x1或x1或x0, .,3.(2009广东改编)若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且 a1)的反函数，其图象经过点( ，a)，则f(x)= _. 解析 由y=ax得,x=logay,即f(x)=logax,4.(2009南京十三中三模)已知f(x)= 是R上的减函数,那么a的取值 范围是_. 解析 由已知,5.(2010江苏泰州月考)函数 的 递增区间是_. 解析 由x2-3x+20得x2, 当x(-,1)时,f(x)=x2-3x+2单调递减, 而0 1,由复合函数单调性可知 在(-,1)上是单调递增的, 在(2,+)上是单调递减的.,(-,1),6.(2010泰州模拟) 方程log3(x2-10)=1+log3x的解 是_. 解析 log3(x2-10)=log33x.x2-10=3x. x2-3x-10=0.x=-2或x=5. 检验知x=5适合. 7.(2009辽宁改编)已知函数f(x)满足:当x4时, f(x)= ;当x4, 故f(3+log23)=,5,8.(2010淮北调研)函数f(x)=ax+loga(x+1)在0,1 上的最大值和最小值之和为a,则a的值为_. 解析 y=ax与y=loga(x+1)具有相同的单调性. f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上单调, f(0)+f(1)=a,即a0+loga1+a1+loga2=a, 化简得1+loga2=0,解得,9.(2009广东五校联考)设a0,a1,函数f(x)= 有最大值，则不等式loga(x2-5x+7)0的 解集为_. 解析 设t=lg(x2-2x+3)=lg(x-1)2+2. 当x=1时,tmin=lg 2. 又函数y=f(x)有最大值,所以00,得0 x2-5x+71, 解得2x3. 故不等式解集为x|2x3.,(2,3),二、解答题 10.(2010江苏启东中学模拟)已知函数f(x)= 在区间(-, )上为增函数,求a 的取值范围. 解 令g(x)=x2-ax-a. f(x)= 在(-, )上为增函数, g(x)应在(-, )上为减函数且g(x)0在 (-, )上恒成立. 因此 故实数a的取值范围是-1a,11.(2010舟山调研)已知函数y= 在(-,-2)上是增函数,求a的取值范围. 解 因为(x)=x2-2ax-3在(-,a上是减函数, 在a,+)上是增函数, 要使y= 在(-,-2)上是增函数, 首先必有0a21, 即0a1或-1a0,且有,12.（2010扬州模拟） 已知函数f(x)=loga(x+1) (a1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点的 对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象. (1)写出函数g(x)的解析式; (2)当x0,1)时总有f(x)+g(x)m成立，求m的 取值范围. 解 (1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点, 则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点, Q(-x,-y)在f(x)的图象上, -y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x).,(2)f(x)+g(x)m, 由题意知,只要F(x)minm即可. F(x)在0,1)上是增函数, F(x)min=F(0)=0. 故m0即为所求.,返回,