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第11讲 函数与方程,第11讲函数与方程,知识梳理,1一般地,如果函数yf(x)的图像与横轴有交点,我们把这个交点的_称为这个函数的_ 2方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有_函数yf(x)有_ 3(1)如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线;(2)并且满足_那么,函数yf(x)在区间(a,b)内有零点,即至少存在一个c(a,b),使_满足上面条件(1)、(2)后,在(a,b)内存在的c不一定只有一个,第11讲 知识梳理,横坐标,零点,交点,零点,f(a)f(b)0,f(c)0,4函数f(x)的图像是一条连续的曲线,且在区间a,b上有f(a)f(b)0,通过不断地选取区间的中点,把函数f(x)所在的零点区间_,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为_,第11讲 知识梳理,一分为二,二分法,要点探究,探究点1方程的根与函数的零点,第11讲 要点探究,思路 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数,答案 B,第11讲 要点探究,解析 当x0时,令x22x30,解得x3;当x0时,令2lnx0,解得xe2,所以已知函数有2个零点,选B.,点评 函数f(x)的零点是一个实数(不是点),就是方程f(x)0的实数根,也是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标,因此判断零点的个数就是判断方程f(x)0的实根个数,有时也可以根据函数图像的交点来判断零点的个数,如:,第11讲 要点探究,变式题,函数ylnx2x6的零点个数为_,答案 一个,解析 在同一坐标系画出ylnx与y62x的图像,由图可知两图像只有一个交点,故函数ylnx2x6只有一个零点,探究点2函数零点位置的判断,第11讲 要点探究,思路 对于区间上连续不断的函数,在区间a,b内寻根,往往需要利用零点的存在性定理判断,即判断f(a)f(b)0是否成立,例2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 (1)f(x)x23x18,x1,8; (2)f(x)x3x1,x1,2; (3)f(x)log2(x2)x,x1,3,第11讲 要点探究,解答 (1)方法一:因为f(1)200,f(8)220,所以f(1)f(8)0,故f(x)x23x18在x1,8上存在零点 方法二:令x23x180,解得x3或6,所以函数f(x)x23x18在x1,8上存在零点 (2)f(1)10,f(2)50,f(x)x3x1在x1,2上存在零点 (3)f(1)log2(12)1log2310,f(3)log2(32)3log2530,f(1)f(3)0,故f(x)log2(x2)x在x1,3上存在零点,点评 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间a,b上是否存在零点的定理,该定理只能判断存在零点,不能判断区间a,b不存在零点,即如果函数yf(x)在区间a,b上有f(a)f(b)0,函数在区间a,b上也可能存在零点,如:,第11讲 要点探究,变式题,答案 D,2009天津卷 设函数f(x)xlnx(x0),则yf(x)() A在区间,(1,e)内均有零点 B在区间,(1,e)内均无零点 C在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点 D在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点,解答 由题意得f(x),令f(x)0,得x3;令f(x)0,故选择D.,探究点3二次函数零点的分布问题,例3 已知关于x的二次方程x22mx2m10. (1)若方程有两根,其中一根在区间(1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围,第11讲 要点探究,思路 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制,点评本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系,有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握,解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法,第11讲 要点探究,第11讲 要点探究,第11讲 要点探究,变式题,求a为何值时,方程9|x2|43|x2|a0有实根,探究点4利用函数零点求参数,例4 (1)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点,求实数a的值;,第11讲 要点探究,思路 函数的类型为初等函数,因此可以利用方程的思想求解,第11讲 要点探究,思路通过图像变换法作出函数的图像,利用数形结合思想求解,(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点,求实数a的取值范围,解答 若f(x)|4xx2|a有4个零点,即|4xx2|a0有四个根,即|4xx2|a有四个根令g(x)|4xx2|,h(x)a.作出g(x)、h(x)的图像,由图像可知如果要使|4xx2|a有四个根,那么g(x)与h(x)的图像应有4个交点故需满足0a4,即4a0.a的取值范围是(4,0),第11讲 要点探究,点评 函数形结合法是解决利用函数零点求参数问题的基本思想,其要点是通过构造函数,把函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题,第11讲 要点探究,变式题,已知函数f(x)x|x4|5,当方程f(x)a有三个根时,求实数a的取值范围,规律总结,第11讲 规律总结,1方程的根(从数的角度看)、函数图像与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2函数零点的求法: (1)代数法:利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)0的根 (2)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf(x)的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点 (3)二分法:主要用于求函数零点的近似值,第11讲 规律总结,3要注意对于在区间a,b上的连续函数f(x),若x0是f(x)的零点,却不一定有f(a)f(b)0,即f(a)f(b)0仅是f(x)在a,b上存在零点的充分条件,而不是必要条件 4有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多一个零点 (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值符号可能不变,也可能改变 5用二分法求零点的近似解时,所要求的精确度不同,得到的结果也不同精确度为是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,若其长度小于,即认为已达到所要求的精确度,可停止计算精确度为0.001与精确到0.001是不同的,
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