普通高等学校招生全国统一考试数学真题2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).第卷1至2页,第卷3至4页,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2015四川,理1)设集合A=x|(x+1)(x-2)0,集合B=x|1x3,则AB=()A.x|-1x3B.x|-1x1C.x|1x2D.x|2x3答案:A解析:由题意,得A=x|-1x2,B=x|1x3,所以AB=x|-1x3b3”是“loga33b3,ab1.log3alog3b0.1log3a1log3b,即loga33b3是loga3logb3的充分条件.当0a1时,满足loga33b3,得ab1,所以由loga33b3,所以3a3b3不是loga33b3是loga3logb3的充分不必要条件,故选B.9.(2015四川,理9)如果函数f(x)=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间12,2上单调递减,那么mn的最大值为()A.16B.18C.25D.812答案:B解析:f(x)=(m-2)x+(n-8),由于f(x)在12,2上单调递减,所以f(x)0在12,2上恒成立,即(m-2)x+(n-8)0在12,2上恒成立,于是(m-2)12+n-80,(m-2)2+n-80,即m+2n18,2m+n12.又m0,n0,所以m+2n18,2m+n12,m0,n0.画出满足上述不等式组的点(m,n)所对应的平面区域(如图).得B(0,9),C(6,0),由m+2n=18,2m+n=12,可得A(2,8).当0m2时,mnm18-m2=-12m2+9m=-12(m-9)2+812,当m=2时,mn取最大值16;当20)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:D解析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.由CMAB,得kCM=y0x0-5=-y02,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以y024x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即0y0212.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4.所以4r216,即2r0;对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n0;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).答案:解析:对于,因为函数f(x)=2x单调递增,所以m=f(x1)-f(x2)x1-x20,故该命题正确;对于,函数g(x)=x2+ax的对称轴为x=-a2,故函数在-,-a2上单调递减,在-a2,+上单调递增.所以当x1,x2-,-a2时,n=g(x1)-g(x2)x1-x20.所以该命题错误.对于,若存在不相等的实数x1,x2,使得m=n,即f(x1)-f(x2)x1-x2=g(x1)-g(x2)x1-x2,整理得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),设函数h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax的图象与平行于x轴的直线可能有两个交点.h(x)=2xln 2-2x-a,记p(x)=h(x),则p(x)=2x(ln 2)2-2,令p(x)=0,解得2x=2(ln2)2,故x=log22(ln2)2=1-2log2(ln 2),记为x0.当x(-,x0)