普通高等学校招生全国统一考试数学真题2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学一、空题（56分）1若全集，集合，则 。2 。3若函数的反函数为，则 。4函数的最大值为 。5若直线过点，且是它的一个法向量，则的方程为 。6不等式的解为 。7若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，则该圆锥的侧面积是 。8在相距2千米的两点处测量目标，若，则两点之间的距离是 千米。9若变量满足条件，则的最大值为 。10课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲乙丙三组，对应城市数分别为。若用分层抽样抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为 。11行列式（）的所有可能值中，最大的是 。12在正三角形中，是上的点，则 。13随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。14设是定义在上以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。二、择题（20分）15下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为答（ ）A B C D16若，且，则下列不等式中，恒成立的是答（ ）A B C D17若三角方程与的解集分别为和，则答（ ）A B C D18设是平面上给定的4个不同的点，则使成立的点 的个数为答（ ）A0 B1 C2 D4 三、解答题（74分）19（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。20（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，高。求：（1）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）四面体的体积。21（14分）已知函数，其中常数满足。（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时折取值范围。22（16分）已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为。（1）若与重合，求的焦点坐标；（2）若，求的最大值与最小值；（3）若的最小值为，求的取值范围。23（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；（2）中有多少项不是数列中的项？说明理由；（3）求数列的前项和（）。参考答案一、填空题1；2；3；4；5；6或；7；8；9；10；11；12；13；14。二、选择题15；16；17；18。三、解答题19解： （4分）设，则，（12分） ， （12分）20解： 连， ， 异面直线与所成角为，记， 异面直线与所成角为。 连，则所求四面体的体积。21解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。 当时，则；当时，则。22解： ，椭圆方程为， 左右焦点坐标为。 ，椭圆方程为，设，则 时； 时。 设动点，则 当时，取最小值，且， 且解得。23解： 三项分别为。 分别为 ， 。