普通高等学校招生全国统一考试数学真题绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京,文)本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.(2019北京,文1)已知集合A=x|-1x1,则AB=() A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+)D.(1,+)解析A=x|-1x1,AB=(-1,+),故选C.答案C2.(2019北京,文2)已知复数z=2+i,则zz=()A.3B.5C.3D.5解析z=2+i,z=2-i.zz=(2+i)(2-i)=5.故选D.答案D3.(2019北京,文3)下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=x12B.y=2-xC.y=log12xD.y=1x解析函数y=2-x,y=log12x,y=1x在区间(0,+)上单调递减,函数y=x12在区间(0,+)上单调递增,故选A.答案A4.(2019北京,文4)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.1B.2C.3D.4解析运行第一次,k=1,s=21231-2=2,运行第二次,k=2,s=22232-2=2,运行第三次,k=3,s=22232-2=2,结束循环,输出s=2,故选B.答案B逐次运行,直到满足k3时,结束循环,输出s.5.(2019北京,文5)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12解析双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+1,a2+1a=5,解得a=12,故选D.答案D根据双曲线的离心率的定义,列关于a的方程求解.6.(2019北京,文6)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当b=0时,f(x)=cos x+bsin x=cos x,f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)对任意的x恒成立,f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cos x-bsin x,由cos x+bsin x=cos x-bsin x,得bsin x=0对任意的x恒成立,从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件,故选C.答案C根据定义域为R的函数f(x)为偶函数等价于f(-x)=f(x)进行判断.7.(2019北京,文7)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1解析两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,令m2=-1.45,m1=-26.7,则lgE1E2=25(m2-m1)=25(-1.45+26.7)=10.1,E1E2=1010.1,故选A.答案A先求出lgE1E2,然后将对数式换为指数式求E1E2.8.(2019北京,文8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 解析(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,AOB=2APB=2,阴影部分(扇形)的面积S1=r2=4为定值,SOAB=12|OA|OB|sin 2=2sin 2为定值,全部阴影部分的面积S=SPAB+S1-SOAB.当P为弧AB的中点时SPAB最大,最大值为12(2|OA|sin )(OP+|OA|cos )=2sin (2+2cos )=4sin +2sin 2,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4+4sin ,故选B.(方法二)观察图象可知,当P为弧AB的中点时,阴影部分的面积S取最大值,此时BOP=AOP=-,面积S的最大值为r2+SPOB+SPOA=4+12|OP|OB|sin(-)+12|OP|OA|sin(-)=4+2sin +2sin =4+4sin ,故选B.答案B第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。9.(2019北京,文9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.解析a=(-4,3),b=(6,m),ab,ab=0,即-46+3m=0,即m=8.答案810.(2019北京,文10)若x,y满足x2,y-1,4x-3y+10,则y-x的最小值为,最大值为.解析作出可行域如图阴影部分所示.设z=y-x,则y=x+z.当直线l0:y=x+z经过点A(2,-1)时,z取最小值-3,经过点B(2,3)时,z取最大值1.答案-31作出可行域,移动目标函数表示的直线,利用图像法求解.11.(2019北京,文11)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.解析抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,以F为圆心,且与x=-1相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.答案(x-1)2+y2=412.(2019北京,文12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.解析在正方体中还原该几何体,如图所示.该几何体的体积V=43-12(2+4)24=40.答案40画出三视图对应的几何体,应用割补法求几何体的体积.13.(2019北京,文13)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.答案若l,m,则lm14.(2019北京,文14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.解析(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130(元).(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y0;当n6时,an0.所以,Sn的最小值为S6=-30.17.(2019北京,文17)(本小题12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.解(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为401001 000=400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则P(C)=125=0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000 元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.18.(2019北京,文18)(本小题14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC;(2)若