普通高等学校招生全国统一考试数学真题2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题（56分）1函数的反函数为 。2若全集，集合，则 。3设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 。4不等式的解为 。5在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 。6在相距2千米的两点处测量目标，若，则两点之间的距离是 千米。7若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。8函数的最大值为 。9马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 。10行列式（）的所有可能值中，最大的是 。11在正三角形中，是上的点，则 。12随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。13设是定义在上以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。14已知点和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为，使之满足；依次下去，得到点，则 。二、选择题（20分）15若，且，则下列不等式中，恒成立的是答（ ）A B C D16下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为答（ ）A B C D17设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为答（ ）A0 B1 C5 D10 18设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为答（ ）A是等比数列。 B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。三、解答题（74分）19（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。20（12分）已知函数，其中常数满足。（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围。21（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。22（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。23（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 。 。 。参考答案一、空题1；2；3；4或；5；6；7；8；9；10；11；12；13；14。二、择题15；16；17；18。三、答题19解： （4分）设，则，（12分） ， （12分）20解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。 当时，则；当时，则。21解：设正四棱柱的高为。 连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如图空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则。22 ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。23解： 设是线段上一点，则，当时，。 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。 选择， 选择。 选择。