普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江自选模块)题号:03科目:数学“数学史与不等式选讲”模块(10分)(1)解不等式2|x-2|-|x+1|3;(2)设正数a,b,c满足abc=a+b+c,求证:ab+4bc+9ac36,并给出等号成立条件.(1)解:当x-1时,2(2-x)+(x+1)3,得x2,此时x-1;当-13,得x0,此时-1x2时,2(x-2)-(x+1)3,得x8.此时x8.综上所述,原不等式的解集是(-,0)(8,+).(2)证明:由abc=a+b+c,得1ab+1bc+1ca=1.由柯西不等式得(ab+4bc+9ac)1ab+1bc+1ca(1+2+3)2,所以ab+4bc+9ac36.等号成立条件为a=2,b=3,c=1.题号:04科目:数学“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)(1)在极坐标系Ox中,设集合A=(,)04,0cos,求集合A所表示区域的面积;(2)在直角坐标系xOy中,直线l:x=-4+tcos4,y=tsin4,(t为参数).曲线C:x=acos,y=2sin,(为参数),其中a0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.(1)解:在=cos 两边同乘以,得2=cos .化成直角坐标方程,得x2+y2=x,即x-122+y2=14.集合A所表示的区域为:由射线y=x(x0),y=0(x0),圆x-122+y2=14所围成的区域,如图所示的阴影部分,所求面积为16+18.(2)解:由题意知,直线l的方程为x-y+4=0.因为曲线C上所有点均在直线l的右下方,故对R,有acos -2sin +40恒成立,即a2+4cos(+)-4,其中tan=2a恒成立.所以a2+40,得0a23.