普通高等学校招生全国统一考试数学真题2016年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学1.(2016北京,文1)已知集合A=x|2x4,B=x|x5,则AB=()A.x|2x5B.x|x5C.x|2x3D.x|x5答案CA=x|2x4,B=x|x5,AB=x|2x0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=;b=.答案12解析双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,双曲线的渐近线方程为y=bax.由题意可知ba=2,c=5,c2=a2+b2.a=1,b=2.13.(2016北京,文13)在ABC中,A=23,a=3c,则bc=.答案1解析由正弦定理知sinAsinC=ac=3,即sin C=sin233=12,又ac,可得C=6,B=-23-6=6,b=c,即bc=1.14.(2016北京,文14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;(2)这三天售出的商品最少有种.答案(1)16(2)29解析(1)由于前两天都售出的商品有3种,因此第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种.当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的,剩下的1种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中,此时商品总数最少,为29种.如图,分别用A,B,C表示第一、二、三天售出的商品种数.15.(2016北京,文15)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.解(1)等比数列bn的公比q=b3b2=93=3,所以b1=b2q=1,b4=b3q=27.设等差数列an的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1(n=1,2,3,).(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.从而数列cn的前n项和Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1=n(1+2n-1)2+1-3n1-3=n2+3n-12.16.(2016北京,文16)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)因为f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4,所以f(x)的最小正周期T=22=.依题意,=,解得=1.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+4.函数y=sin x的单调递增区间为2k-2,2k+2(kZ).由2k-22x+42k+2,得k-38xk+8.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8(kZ).17.(2016北京,文17)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.解(1)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间0.5,1,(1,1.5,(1.5,2,(2,2.5,(2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:组号12345678分组2,4(4,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意,该市居民该月的人均水费估计为40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+220.05+270.05=10.5(元).18.(2016北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.解(1)因为PC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,所以DC平面PAC.(2)因为ABDC,DCAC,所以ABAC.因为PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.又因为PA平面CEF,所以PA平面CEF.19.(2016北京,文19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.解(1)由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.又c=a2-b2=3,所以离心率e=ca=32.(2)设P(x0,y0)(x00,y00),则x02+4y02=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2).令x=0,得yM=-2y0x0-2,从而|BM|=1-yM=1+2y0x0-2.直线PB的方程为y=y0-1x0x+1.令y=0,得xN=-x0y0-1,从而|AN|=2-xN=2+x0y0-1.所以四边形ABNM的面积S=12|AN|B