普通高等学校招生全国统一考试数学真题绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,理)(本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=(x,y)|x,yN*,yx,B=(x,y)|x+y=8,则AB中元素的个数为()A.2B.3C.4D.62.复数11-3i的虚部是()A.-310B.-110C.110D.3103.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.24.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)()A.60B.63C.66D.695.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)6.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.19357.在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=()A.19B.13C.12D.238.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+239.已知2tan -tan+4=7,则tan =()A.-2B.-1C.1D.210.若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+1211.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1PF2P.若PF1F2的面积为4,则a=()A.1B.2C.4D.812.已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bcaD.ca400空气质量好空气质量不好附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.19.(12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.20.(12分)已知椭圆C:x225+y2m2=1(0m5)的离心率为154,A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BPBQ,求APQ的面积.21.(12分)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f12处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2,y=2-3t+t2(t为参数且t1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.23.选修45:不等式选讲(10分)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c的最大值,证明:maxa,b,c34.2020年数学(全国卷,理)查缺补漏表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏1(集合)选择题集合的基本运算(交集);数学运算4,12,16,21(函数与导数)选择题函数应用;数学建模选择题指数与对数的互化、对数运算;逻辑推理、数学运算填空题函数的性质;逻辑推理、数学运算解答题应用导数研究切线与零点;数学抽象、逻辑推理、数学运算7,9(三角函数与解三角形)选择题解三角形;数学运算选择题三角公式、解方程;数学运算6(平面向量)选择题平面向量的数量积与夹角;数学运算17(数列)解答题递推公式、通项公式、错位相减法求和;逻辑推理、数学运算13(不等式)填空题线性规划;直观想象、数学运算8,15,19(空间向量与立体几何)选择题三视图;直观想象、数学运算填空题空间图形的位置关系(球切接于圆锥)、球的体积;直观想象、数学运算解答题空间点线面的位置关系、二面角;直观想象、逻辑推理、数学运算5,10,11,20(平面解析几何)选择题直线与抛物线位置关系(相交)、抛物线焦点;直观想象、逻辑推理、数学运算选择题直线与抛物线位置关系(相切)、直线与圆的位置关系(相切);直观想象、逻辑推理、数学运算选择题双曲线的性质、焦点三角形;逻辑推理、数学运算解答题求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线过定点;逻辑推理、数学运算续表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏3,14,18(计数原理与概率统计)选择题标准差;数据分析填空题二项式定理的应用;数学运算解答题互斥事件的概率、均值估计、独立性检验;数学抽象、数学运算、数据分析2(复数)选择题复数的运算(除法);数学运算22(极坐标系与参数方程)解答题参数方程的应用、直角坐标方程转化为极坐标方程;数学运算23(不等式选讲)解答题重要不等式的应用、不等式证明;逻辑推理【试题分析】2020年全国卷理科数学,突出对基础知识(约占40%)以及主干内容的考查,如函数与导数(27分),立体几何(22分),解析几何(27分),计数原理与概率统计(22分),三角函数与解三角形(10分).纵观全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第12题不仅考查学生运用所学知识分析、解决问题的能力,同时也考查了学生的观察能力、运算能力、推理判断能力与灵活运用知识的综合能力.第21题考查利用导数求切线方程、导数公式和导数运算法则,综合考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力和数学语言表达能力.第4题以新冠疫情为背景,考查数学模型的建立与应用.第18题以空气质量与健康锻炼设计问题,突出了数学的实用性,考查学生的分析能力和数学文化素养.1.C满足x,yN*,yx,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故AB中元素的个数为4.2.D11-3i=1+3i(1-3i)(1+3i)=1+3i10=110+310i,复数11-3i的虚部是310.3.B四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的数据中,极端值最多,数据波动程度最大,故选B.4.C由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*-53)=119,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln 19-3,所以t*66.5.B抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又ODOE,ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.6.Da(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2ab=25+36-12=49,|a+b|=7,cos=a(a+b)|a|a+b|=1957=1935.7.AAB2=AC2+BC2-2AC