普通高等学校招生全国统一考试数学真题2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国文科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国,文1)已知集合A=x|-1x2,B=x|0x3,则AB=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)答案:A解析:由题意,得AB=x|-1x3,即AB=(-1,3).2.(2015课标全国,文2)若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案:D解析:由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4.3.(2015课标全国,文3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案:D解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关.4.(2015课标全国,文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D.2答案:C解析:2a+b=(1,0),又a=(1,-1),(2a+b)a=1+0=1.5.(2015课标全国,文5)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案:A解析:由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5=5(a1+a5)2=5a3=5.6.(2015课标全国,文6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案:D解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V正方体=a3,V截去部分=16a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a356a3=15.7.(2015课标全国,文7)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43答案:B解析:由题意知,ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-32=33x-12,它与x=1联立得圆心P坐标为1,233,则|OP|=12+2332=213.8.(2015课标全国,文8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框图,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),则输出的a=2.9.(2015课标全国,文9)已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.12D.18答案:C解析:a3a5=4(a4-1),a42=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=14,q=2,a2=a1q=12.10.(2015课标全国,文10)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36B.64C.144D.256答案:C解析:由AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以VO-ABC=1312R2R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.11.(2015课标全国,文11)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()答案:B解析:(方法一)当点P在线段BC上时,如图,x0,4.PB=OBtan x=tan x,PA=PB2+AB2=tan2x+4,所以f(x)=PB+PA=tan x+tan2x+4.显然函数f(x)在0,4内单调递增,故f(0)f(x)f4,即2f(x)1+5.取线段CD的中点E,当点P在线段CE上时,x4,2.如图,过点P作PHAB,垂足为H.则OH=1tanx,BH=1-1tanx.所以PB=PH2+BH2=12+1-1tanx2,PA=PH2+AH2=12+1+1tanx2.所以f(x)=PB+PA=1+1-1tanx2+1+1+1tanx2.所以f(x)在4,2上单调递减.当点P在点E处,f(x)=PB+PA=221+5.当点P在线段DE上时,x2,34.由图形的对称性可知,此时函数图像与当点P在线段CE上时的图像关于x=2对称.当点P在线段DA上时,x34,.由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点P在线段BC上时的图像关于x=2对称.综上选B.(方法二)由题意可知f2=22,f4=5+1,则f2f(2x-1)成立的x的取值范围是()A.13,1B.-,13(1,+)C.-13,13D.-,-1313,+答案:A解析:函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.当x0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,因为y1=ln(1+x)单调递增,y2=-11+x2亦为单调递增,所以f(x)在(0,+)为增函数.由f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|),得|x|2x-1|,解得x13,1.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国,文13)已知函数f(x)=ax3-2x的图像过点(-1,4),则a=.答案:-2解析:由题意知f(-1)=4,得-a+2=4,a=-2.14.(2015课标全国,文14)若x,y满足约束条件x+y-50,2x-y-10,x-2y+10,则z=2x+y的最大值为.答案:8解析:如图所示,可行域为阴影部分.由可行域可知,目标函数8=2x+y过点B取得最大值.联立x+y-5=0,x-2y+1=0,解得x=3,y=2,则B(3,2),故zmax=6+2=8.15.(2015课标全国,文15)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=12x,则该双曲线的标准方程为.答案:x24-y2=1解析:由渐近线方程y=12x,可设双曲线的标准方程为x24-y2=(0),将点(4,3)代入得=1,故双曲线的标准方程为x24-y2=1.16.(2015课标全国,文16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案:8解析:y=1+1x,k=y|x=1=2,切线方程为y=2x-1.由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知=a2-8a=0,解得a=0或a=8.当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,a=0舍去,故a=8.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国,文17)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC;(2)若BAC=60,求B.解:(1)由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD.因为AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30.18.(本小题满分12分)(2015课标全国,文18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.解:(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(CB)的估计值为(0.005+0.02)10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.19.(本小题满分12分)(2015课标全国,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面