普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,理1)已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=().A.x|x0B.x|x1C.x|0x1D.x|0x1答案:D解析:AB=x|x0或x1,U(AB)=x|0xbcB.acbC.cabD.cba答案:C解析:0a=2-1320=1,b=log213log1212=1,cab.故选C.4.(2014辽宁,理4)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是().A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面内,故C不正确.对D:n还可能在内,故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,理5)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若ab=0,bc=0,则ac=0;命题q:若ab,bc,则ac,则下列命题中真命题是().A.pqB.pqC.(p)(q)D.p(q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故pq为真命题.故选A.6.(2014辽宁,理6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为().A.144B.120C.72D.24答案:D解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A43=24.故选D.7.(2014辽宁,理7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-2B.8-C.8-2D.8-4答案:B解析:由三视图知,原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的四分之一圆柱,故几何体的体积为8-2214=8-.故选B.8.(2014辽宁,理8)设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为递减数列,则().A.d0C.a1d0答案:C解析:数列2a1an为递减数列,2a1an2a1an+1,nN*,a1ana1an+1,a1(an+1-an)0.an为公差为d的等差数列,a1d0,则可得切线方程为y-3=k(x+2).联立方程y-3=k(x+2),y2=8x,消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*)由相切得=64-4k(24+16k)=0,解得k=12或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切点B的坐标为(8,8),又焦点F为(2,0),故直线BF的斜率为43.11.(2014辽宁,理11)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是().A.-5,-3B.-6,-98C.-6,-2D.-4,-3答案:C解析:当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,即当x-2,1时,不等式ax3x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,aR.(2)当0x1时,由(*)得ax2-4x-3x3=1x-4x2-3x3恒成立.设f(x)=1x-4x2-3x3,则f(x)=-1x2+8x3+9x4=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4.当0x1时,x-90,f(x)0,f(x)在(0,1上单调递增.当0x1时,可知af(x)max=f(1)=-6.(3)当-2x0时,由(*)得a1x-4x2-3x3.令f(x)=0,得x=-1或x=9(舍).当-2x-1时,f(x)0,当-1x0,f(x)在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.x-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知af(x)min=-2.综上所述,当x-2,1时,实数a的取值范围为-6a-2.故选C.12.(2014辽宁,理12)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|12|x-y|.若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为().A.12B.14C.12D.18答案:B解析:不妨令0xy1,则|f(x)-f(y)|12|x-y|.法一:2|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-f(y)-f(1)|f(x)-f(0)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(1)|12|x-0|+12|x-y|+12|y-1|=12x+12(y-x)+12(1-y)=12,即得|f(x)-f(y)|14,对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k14.因此k的最小值为14.法二:当|x-y|12时,|f(x)-f(y)|12时,|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(1)-f(y)-f(0)|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|12|x-1|+12|y-0|=12(1-x)+12y=12+12(y-x)14,对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|1,执行否,x=5,y=113,|y-x|=431,执行否,x=113,y=299,|y-x|=490,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3a-4b+5c的最小值为.答案:-2解析:要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2的最大值.4a2-2ab+4b2-c=0,4a2+b2=c+2ab-3b2.(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c+6ab-3b2=c+3b(2a-b)=c+322b(2a-b)c+322b+(2a-b)22=c+322a+b22,即(2a+b)285c,当且仅当2b=2a-b,即3b=2a时取到等号,即(2a+b)2取到最大值.故3b=2a时,|2a+b|取到最大值.把3b=2a,即b=2a3代入4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=409a2.3a-4b+5c=3a-423a+5409a2=3a-6a+98a2=981a2-83a=981a-432-2.当1a=43时,3a-4b+5c取到最小值-2.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,理17)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知BABC=2,cos B=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.分析:(1)将条件中的BABC=2,转化为边角的量表示,可得a与c的关系,再结合余弦定理列方程组求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin C,进而求出cos C,再由两角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.解:(1)由BABC=2,得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=223,由正弦定理,得sin C=cbsin B=23223=429.因a=bc,所以C为锐角,