普通高等学校招生全国统一考试数学真题2016年普通高等学校招生全国统一考试上海理科数学一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(2016上海,理1)设xR,则不等式|x-3|1的解集为.答案(2,4)由题意,得-1x-31,解得2x0,b0,若关于x,y的方程组ax+y=1x+by=1无解,则a+b的取值范围是.答案(2,+)将方程组中的ax+y=1式化为y=1-ax,代入x+by=1,并整理,得(1-ab)x=1-b,方程组无解应该满足1-ab=0且1-b0,所以ab=1且b1,所以由基本不等式得a+b2ab=2.11.(2016上海,理11)无穷数列an由k个不同的数组成,Sn为an的前n项和若对任意nN*,Sn2,3,则k的最大值为.答案4要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为2,1,-1,0,0,0,所以最多由4个不同的数组成.12.(2016上海,理12)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上一个动点,则BP,BA的取值范围是.答案0,2如图,画出函数y=1-x2的图像.当点P与点A重合时,BPBA最大,为BA2=2,当点P与点C重合时BPBA最小,此时两向量垂直,则数量积为0,所以BPBA的取值范围为0,2.13.(2016上海,理13)设a,bR,c0,2),若对任意实数x都有2sin3x-3=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为.答案4a=2,b=3,当a,b确定时,c唯一,故有4种组合.14.(2016上海,理14)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2An的中心,A(1,0),任取不同的两点A1,A2,点P满足OP+OA1+OA2=0,则点P落在第一象限的概率是.答案528共有C82=28种基本事件,其中使点P落在第一象限共有C32+2=5种基本事件,故概率为528.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生写在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.(2016上海,理15)设aR,则“a1”是“a21”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案Aa1a21,a21a1或a-1,所以是充分非必要条件,选A.16.(2016上海,理16)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是()A.=6+5cos B.=6+5sin C.=6-5cos D.=6-5sin 答案D依次取=0,2,32,结合图形可知只有=6-5sin 满足,选D.17.(2016上海,理17)已知无穷等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,且limnSn=S,下列条件中,使得2Sn0,0.6q0.7B.a10,-0.7q0,0.7q0.8D.a10,-0.8q-0.7答案B由题意,得2a11-qn1-qa111-q,(0|q|0时,qn12不恒成立,舍去;当a10时,qn12,从而q20)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.(1)若l的倾斜角为2,F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b=3,若l的斜率存在,且(F1A+F1B)AB=0,求l的斜率.解22.(本小题满分16分)(2016上海,理22)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知aR,函数f(x)=log21x+a.(1)当a=5时,解不等式f(x)0;(2)若关于x的方程f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围;(3)设a0,若对任意t12,1,函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.解23.(本小题满分18分)(2016上海,理23)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列an满足:只要ap=aq(p,qN*),必有ap+1=aq+1,则称an具有性质P.(1)若an具有性质P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;(2)若无穷数列bn是等差数列,无穷数列cn是公比为正数的等比数列,b1=c5=1,b3=c1=81,an=bn+cn判断an是否具有性质P,并说明理由;(3)设bn是无穷数列,已知an+1=bn+sin an(nN*),求证:“对任意a1,an都具有性质P”的充要条件为“bn是常数列”.解