普通高等学校招生全国统一考试数学真题绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,文)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2019全国,文1)设z=3-i1+2i,则|z|=() A.2B.3C.2D.1解析z=3-i1+2i,z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15-75i,|z|=152+-752=2.故选C.答案C2.(2019全国,文2)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则BUA=()A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7解析由已知得UA=1,6,7,BUA=6,7.故选C.答案C3.(2019全国,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca解析因为a=log20.220=1,又00.20.30.201,即c(0,1),所以ac1,f()=-1+20,排除B,C.故选D.答案D6.(2019全国,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生解析由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到,则第一组应为6号学生,所以每组抽取的学生号构成等差数列an,所以an=10n-4,nN*,若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;若10n-4=616,则n=62,符合题意;若10n-4=815,则n=81.9,不合题意.故选C.答案C7.(2019全国,文7)tan 255=()A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+3解析tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30=1+331-33=2+3.答案D8.(2019全国,文8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56解析因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.设a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为3,故选B.答案B9.(2019全国,文9)右图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入()A.A=12+AB.A=2+1AC.A=11+2AD.A=1+12A解析执行第1次,A=12,k=12,是,第一次应该计算A=12+12=12+A,k=k+1=2;执行第2次,k=22,是,第二次应该计算A=12+12+12=12+A,k=k+1=3;执行第3次,k=32,否,输出,故循环体为A=12+A,故选A.答案A10.(2019全国,文10)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50解析由已知可得-ba=tan 130=-tan 50,则e=ca=1+ba2=1+tan250=1+sin250cos250=sin250+cos250cos250=1cos50.故选D.答案D11.(2019全国,文11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b2+c2-a22bc,c2-4c22bc=-14,-3c2b=-14,bc=324=6,故选A.答案A12.(2019全国,文12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.点A为(0,-b).kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.答案B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2019全国,文13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.解析由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.答案y=3x14.(2019全国,文14)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=.解析设等比数列an的公比为q.S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+14=0.解得q=-12.故S4=a1(1-q4)1-q=1-1241+12=58.答案5815.(2019全国,文15)函数f(x)=sin2x+32-3cos x的最小值为.解析f(x)=sin2x+32-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2cosx+342+178.-1cos x1,当cos x=1时,f(x)min=-4.故函数f(x)的最小值是-4.答案-416.(2019全国,文16)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO平面ABC.连接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60.POCO,CO为ACB平分线,OCD=45,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.答案2三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)(2019全国,文17)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K2=100(4020-3010)2505070304.762.由于4.7623.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.(12分)(2019全国,文18)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN.19.(12分)(2019全国,文19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.(1)证明连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)解过C作C1E的垂线,垂足为H.由已