普通高等学校招生全国统一考试数学真题2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖北,理1)在复平面内,复数z=2i1+i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=i(1-i)=1+i,复数z=2i1+i的共轭复数z=1-i,其在复平面内对应的点(1,-1)位于第四象限.2.(2013湖北,理2)已知全集为R,集合A=x12x1,B=x|x2-6x+80,则ARB=().A.x|x0B.x|2x4C.x|0x4D.x|0x2或x4答案:C解析:由题意知集合A=x12x1=x|x0,集合B=x|x2-6x+80=x|2x4,RB=x|x4.因此A(RB)=x|0x4.3.(2013湖北,理3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为().A.(p)(q)B.p(q)C.(p)(q)D.pq答案:A解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围,因此应为(p)(q).4.(2013湖北,理4)将函数y=3cos x+sin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是().A.12B.6C.3D.56答案:B解析:y=3cos x+sin x=2sinx+3,函数y=3cos x+sin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后,变为函数y=2sinx+3+m的图象.又所得到的图象关于y轴对称,则有3+m=k+2,kZ,m=k+6,kZ.m0,当k=0时,m的最小值为6.5.(2013湖北,理5)已知04,则双曲线C1:x2cos2-y2sin2=1与C2:y2sin2-x2sin2tan2=1的().A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等答案:D解析:对于双曲线C1:x2cos2-y2sin2=1,a12=cos2,b12=sin2,c12=1;对于双曲线C2:y2sin2-x2sin2tan2=1,a22=sin2,b22=sin2tan2,c22=sin2+sin2tan2=sin2(1+tan2)=sin21+sin2cos2=sin2cos2=tan2.只有当=k+4(kZ)时,a12=a22或b12=b22或c12=c22,而04,排除A,B,C.设双曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2,则e12=1cos2,e22=tan2sin2=1cos2.故e1=e2,即两双曲线的离心率相等.6.(2013湖北,理6)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为().A.322B.3152C.-322D.-3152答案:A解析:由题意可知AB=(2,1),CD=(5,5),故AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|=1550=322.7.(2013湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是().A.1+25ln 5B.8+25ln 113C.4+25ln 5D.4+50ln 2答案:C解析:由于v(t)=7-3t+251+t,且汽车停止时速度为0,因此由v(t)=0可解得t=4,即汽车从刹车到停止共用4 s.该汽车在此期间所行驶的距离s=04 7-3t+251+tdt=7t-3t22+25ln(t+1)|04=4+25ln 5(m).8.(2013湖北,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有().A.V1V2V4V3B.V1V3V2V4C.V2V1V3V4D.V2V3V1V4答案:C解析:由三视图可知,四个几何体自上而下分别为圆台,圆柱,四棱柱,四棱台.结合题中所给数据可得:V1=13(4+2)=73,V2=2,V3=23=8,V4=13(16+4+8)=283.故V2V1V3V4.9.(2013湖北,理9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=().A.126125B.65C.168125D.75答案:B解析:由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.由于P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125,故E(X)=027125+154125+236125+38125=150125=65.10.(2013湖北,理10)已知a为常数,函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1,x2(x10,f(x2)-12B.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)-12D.f(x1)-12答案:D解析:由题意知,函数f(x)=x(ln x-ax)=xln x-ax2有两个极值点,即f(x)=ln x+1-2ax=0在区间(0,+)上有两个根.令h(x)=ln x+1-2ax,则h(x)=1x-2a=-2ax+1x,当a0时h(x)0,f(x)在区间(0,+)上递增,f(x)=0不可能有两个正根,a0.由h(x)=0,可得x=12a,从而可知h(x)在区间0,12a上递增,在区间12a,+上递减.因此需h12a=ln 12a+1-1=ln 12a0,即12a1时满足条件,故当0a12时,h(x)=0有两个根x1,x2,且x112a0,x1112ax2,从而可知函数f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1,x2)上递增,在区间(x2,+)上递减.f(x1)f(1)=-af(1)=-a-12.故选D.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(2013湖北,理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为;(2)在这些用户中,用电量落在区间100,250)内的户数为.答案:(1)0.004 4(2)70解析:(1)由频率分布直方图知200,250)小组的频率为1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)50=0.22,于是x=0.2250=0.004 4.(2)数据落在100,250)内的频率为(0.003 6+0.006 0+0.004 4)50=0.7,所求户数为0.7100=70.12.(2013湖北,理12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=.答案:5解析:第一次执行循环体后:a=5,i=2;第二次执行循环体后:a=16,i=3;第三次执行循环体后:a=8,i=4;第四次执行循环体后:a=4,i=5,满足条件,循环结束.输出i=5.13.(2013湖北,理13)设x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=.答案:3147解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2当且仅当x1=y2=z3时等号成立,此时y=2x,z=3x.x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,x=1414,y=21414,z=31414.x+y+z=61414=3147.14.(2013湖北,理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.答案:1 000解析:由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)-12n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11102-1010=1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(2013湖北,理15)(选修41:几何证明选讲)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD,则CEEO的值为.答案:8解析:设AD=2,则AB=6,于是BD=4,OD=1.如图,由射影定理得CD2=ADBD=8,则CD=22.在RtOCD中,DE=ODCDOC=1223=223.则CE=DC2-DE2=8-89=83,EO=OC-CE=3-83=13.因此CEEO=8313=8.16.