普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014山东,理1)已知a,bR,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案:D解析:由a-i与2+bi互为共轭复数,可得a=2,b=1.所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.2.(2014山东,理2)设集合A=x|x-1|2,B=y|y=2x,x0,2,则AB=().A.0,2B.(1,3)C.1,3)D.(1,4)答案:C解析:由题意,得A=x|x-1|2=x|-1x1,且x0,即log2x1或log2x2或0x12.所以函数f(x)的定义域为0,12(2,+).4.(2014山东,理4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是().A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.5.(2014山东,理5)已知实数x,y满足axay(0a1y2+1B.ln(x2+1)ln(y2+1)C.sin xsin yD.x3y3答案:D解析:由axay(0ay.又因为函数f(x)=x3在R上递增,所以f(x)f(y),即x3y3.6.(2014山东,理6)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为().A.22B.42C.2D.4答案:D解析:由y=4x,y=x3,解得x=-2或x=0或x=2,所以直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S=02 (4x-x3)dx=2x2-14x402=222-1424-0=4.7.(2014山东,理7)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为().A.6B.8C.12D.18答案:C解析:设样本容量为n,由题意,得(0.24+0.16)1n=20,解得n=50.所以第三组频数为0.36150=18.因为第三组中没有疗效的有6人,所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.8.(2014山东,理8)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是().A.0,12B.12,1C.(1,2)D.(2,+)答案:B解析:画出f(x)=|x-2|+1的图象如图所示.由数形结合知识,可知若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点.所以函数g(x)=kx的图象应介于直线y=12x和y=x之间,所以k的取值范围是12,1.9.(2014山东,理9)已知x,y满足约束条件x-y-10,2x-y-30,当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为().A.5B.4C.5D.2答案:B解析:约束条件x-y-10,2x-y-30满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=25,则b=25-2a,所以a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=5a-4552+4,即当a=455,b=255时,a2+b2有最小值4.10.(2014山东,理10)已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为().A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案:A解析:由题意,知椭圆C1的离心率e1=a2-b2a,双曲线C2的离心率为e2=a2+b2a.因为e1e2=32,所以(a2-b2)(a2+b2)a2=32,即(a2-b2)(a2+b2)a4=34,整理可得a=2b.又双曲线C2的渐近线方程为bxay=0,所以bx2by=0,即x2y=0.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014山东,理11)执行下面的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为.答案:3解析:输入x=1,12-4+30,则x=2,n=1;返回22-8+30,则x=3,n=2;返回32-12+30,则x=4,n=3;返回42-16+30,则输出n=3,结束.12.(2014山东,理12)在ABC中,已知ABAC=tan A,当A=6时,ABC的面积为.答案:16解析:由ABAC=tan A,可得|AB|AC|cos A=tan A.因为A=6,所以|AB|AC|32=33,即|AB|AC|=23.所以SABC=12|AB|AC|sin A=122312=16.13.(2014山东,理13)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=.答案:14解析:由题意,知VD-ABE=VA-BDE=V1,VP-ABC=VA-PBC=V2.因为D,E分别为PB,PC中点,所以SBDESPBC=14.设点A到平面PBC的距离为d,则V1V2=13SBDEd13SPBCd=SBDESPBC=14.14.(2014山东,理14)若ax2+bx6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.答案:2解析:ax2+bx6的展开式的通项为Tr+1=C6r(ax2)6-rbxr=C6ra6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3.由C6ra6-rbr=C63a3b3=20,得ab=1.所以a2+b22ab=21=2.15.(2014山东,理15)已知函数y=f(x)(xR).对函数y=g(x)(xI),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(xI).y=h(x)满足:对任意xI,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x,f(x)对称.若h(x)是g(x)=4-x2关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.答案:(210,+)解析:由已知得h(x)+4-x22=3x+b,所以,h(x)=6x+2b-4-x2.h(x)g(x)恒成立,即6x+2b-4-x24-x2恒成立,整理得3x+b4-x2恒成立.在同一坐标系内,画出直线y=3x+b及半圆y=4-x2(如图所示),当直线与半圆相切时,|30-0+b|1+32=2,所以|b|=210.故b的取值范围是(210,+).三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2014山东,理16)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=ab,且y=f(x)的图象过点12,3和点23,-2.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标运算整理出f(x)的解析式,再由图象过两点,代入整理可得关于m,n的方程组,利用此方程组即得m,n的值.在第(2)问中,通过图象平移知识,可得含参数的g(x)的解析式,从中设出最高点,然后根据两点距离为1,可确定最高点的坐标,代入可求出g(x)确定的解析式,从而求出单调区间.解:(1)由题意知f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x.因为y=f(x)的图象过点12,3和23,-2,所以3=msin6+ncos6,-2=msin43+ncos43,即3=12m+32n,-2=-32m-12n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6.由题意知g(x)=f(x+)=2sin2x+2+6.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin2+6=1,因为0,所以=6.因此g(x)=2sin2x+2=2cos 2x,由2k-2x2k,kZ,得k-2xk,kZ,所以函数y=g(x)的单调递增区间为k-2,k,kZ.17.(本小题满分12分)(2014山东,理17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,DAB=60,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M平面A1ADD1;(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.分析:在第(1)问中,可考虑线面平行的判定定理,即从平面A1ADD1中找一条线与C1M平行,显然可找线AD1,再通过证明四边形AMC1D1为平行四边形来达到求证目的.在第(2)问中,方法一:可以点C为原点建立空间直角坐标系,求出平面C1D1M和平面ABCD的法向量,则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值.方法二:平面C1D1M即为平面ABC1D1,则平面C1D1M与平面ABCD所成角的棱为AB,又已知CD1平面ABCD,故可过C向棱AB作垂线,垂足为N,连接D1N,则可证D1NC为二面角的平面角,进而在RtD1CN中求D1NC的余弦值即可.(1)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,且AB=2CD,所以ABDC.又由M是AB的中点,因此CDMA且CD=MA.连接AD1,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因为CDC1D1,CD=C