普通高等学校招生全国统一考试数学真题绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,文)本试卷共5页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019全国,文1)已知集合A=x|x-1,B=x|x2,则AB=()A.(-1,+)B.(-,2)C.(-1,2)D.解析由题意,得AB=(-1,2),故选C.答案C2.(2019全国,文2)设z=i(2+i),则z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i解析z=2i+i2=-1+2i,则z=-1-2i.故选D.答案D3.(2019全国,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.50解析由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+12=2,故选A.答案A4.(2019全国,文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15解析设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有a,b,c,a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,a,A,B,b,c,A,b,c,B,c,A,B,b,A,B共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,b,c,A,b,c,B共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为610=35,故选B.答案B5.(2019全国,文5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙解析若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A.答案A6.(2019全国,文6)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1解析f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.答案D7.(2019全国,文7)设,为两个平面,则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面解析由面面平行的判定定理知,“内有两条相交直线与平行”是“”的充分条件.由面面平行的性质知,“内有两条相交直线与平行”是“”的必要条件,故选B.答案B8.(2019全国,文8)若x1=4,x2=34是函数f(x)=sin x(0)两个相邻的极值点,则=()A.2B.32C.1D.12解析由题意,得f(x)=sin x的周期T=2=234-4=,解得=2,故选A.答案A9.(2019全国,文9)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8解析y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.答案D10.(2019全国,文10)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0解析当x=时,y=2sin +cos =-1,即点(,-1)在曲线y=2sin x+cos x上.y=2cos x-sin x,y|x=2cos -sin =-2.曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-),即2x+y-2+1=0.故选C.答案C11.(2019全国,文11)已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15B.55C.33D.255解析2sin 2=cos 2+1,4sin cos =2cos2.0,2,cos 0,sin 0,2sin =cos .又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin 0,sin =55.故选B.答案B12.(2019全国,文12)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故选A.答案A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2019全国,文13)若变量x,y满足约束条件2x+3y-60,x+y-30,y-20,则z=3x-y的最大值是.解析画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.答案914.(2019全国,文14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.解析由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为100.97+200.98+100.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为39.240=0.98.答案0.9815.(2019全国,文15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=.解析由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.A(0,),B(0,),sin A0,sin B+cos B=0,即tan B=-1,B=34.答案3416.(2019全国,文16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分.)图1图2解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的棱于点H.由半正多面体的对称性可知,BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=22x,所以GH=222x+x=(2+1)x=1,解得x=12+1=2-1,即该半正多面体的棱长为2-1.答案262-1三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2019全国,文17)(12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.18.(2019全国,文18)(12分)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式;(2)设bn=log2an.求数列bn的前n项和.解(1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.19.(2019全国,文19)(12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组-0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:748.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y=1100(-0.102+0.1024+0