普通高等学校招生全国统一考试数学真题2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学本试卷分第卷和第卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,理1)已知集合A=x|x2-4x+30,B=x|2x4,则AB=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:A=x|x2-4x+30=x|1x3,B=x|2x4,结合数轴,知AB=x|2x3.2.(2015山东,理2)若复数z满足z1-i=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解析:z1-i=i,z=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i.3.(2015山东,理3)要得到函数y=sin4x-3的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移12个单位B.向右平移12个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位答案:B解析:y=sin4x-3=sin4x-12,只需将函数y=sin 4x的图象向右平移12个单位即可.4.(2015山东,理4)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a2答案:D解析:如图设BA=a,BC=b.则BDCD=(BA+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos 60=a2+12a2=32a2.5.(2015山东,理5)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是()A.(-,4)B.(-,1)C.(1,4)D.(1,5)答案:A解析:当x1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)2,即-42,满足题意;当1x5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)2,即2x-62,解得1x4;当x5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)2,即42,不成立.故原不等式的解集为(-,4).6.(2015山东,理6)已知x,y满足约束条件x-y0,x+y2,y0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a1,即a-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;当0-a1,即-1a0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4,a=3(舍去);当-1-a0时,即0a1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=2a+1=4,a=32(舍去);当-a-1,即a1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2.综上,a=2符合题意.7.(2015山东,理7)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.23B.43C.53D.2答案:C解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=122=2,V圆锥=13121=3.V几何体=V圆柱-V圆锥=2-3=53.8.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,落在(3,6)内的概率为P(-2+2)-P(-+)2=95.44%-68.26%2=13.59%.9.(2015山东,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34答案:D解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.圆心到直线的距离d=|-3k-2-2k-3|1+k2=1,解得k=-43或k=-34.10.(2015山东,理10)设函数f(x)=3x-1,x1,2x,x1.则满足f(f(a)=2f(a)的a的取值范围是()A.23,1B.0,1C.23,+D.1,+)答案:C解析:当a=2时,f(2)=4,f(f(2)=f(4)=24,显然f(f(2)=2f(2),故排除A,B.当a=23时,f23=323-1=1,ff23=f(1)=21=2.显然ff23=2f23.故排除D.综上,选C.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015山东,理11)观察下列各式:C10=40;C30+C31=41;C50+C51+C52=42;C70+C71+C72+C73=43;照此规律,当nN*时,C2n-10+C2n-11+C2n-12+C2n-1n-1=.答案:4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n个式子有n项,且上标分别为0,1,2,n-1,第n行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,n-1.所以第n个式子为C2n-10+C2n-11+C2n-12+C2n-1n-1=4n-1.12.(2015山东,理12)若“x0,4,tan xm”是真命题,则实数m的最小值为.答案:1解析:由题意知m(tan x)max.x0,4,tan x0,1,m1.故m的最小值为1.13.(2015山东,理13)执行下边的程序框图,输出的T的值为.答案:116解析:初始n=1,T=1.又01 xndx=1n+1xn+1|01=1n+1,n=13,T=1+11+1=32,n=1+1=2;n=23,T=32+12+1=116,n=2+1=3;n=3,不满足“n0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b=.答案:-32解析:f(x)=ax+b是单调函数,当a1时,f(x)是增函数,a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案:32解析:双曲线的渐近线为y=bax.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.F0,p2为OAB的垂心,kAFkOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2015山东,理16)设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.解:(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A为锐角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.17.(本小题满分12分)(2015山东,理17)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=12AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC.又FC平面ABC,所以DG平面ABC.在ABC中,由ABBC,BAC=45,G是AC中点,所以AB=BC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,