普通高等学校招生全国统一考试数学真题2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学1.(2017北京,理1)若集合A=x|-2x1,B=x|x3,则AB=()A.x|-2x-1B.x|-2x3C.x|-1x1D.x|1x3解析AB=x|-2x-1,故选A.答案A2.(2017北京,理2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)解析设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以a+10,解得a-1.故选B.答案B3.(2017北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2B.32C.53D.85解析当k=0时,03成立,第一次进入循环,k=1,s=1+11=2;13成立,第二次进入循环,k=2,s=2+12=32;23成立,第三次进入循环,k=3,s=32+132=53;33不成立,输出s=53.故选C.答案C4.(2017北京,理4)若x,y满足x3,x+y2,yx,则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9解析由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-12的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+23=9.故选D.答案D5.(2017北京,理5)已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数解析因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-13x在R上都是增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选A.答案A6.(2017北京,理6)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.答案210.(2017北京,理10)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=.解析设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即-1+3d=8,-q3=8,解得d=3,q=-2.故a2b2=-1+3-1(-2)=1.答案111.(2017北京,理11)在极坐标系中,点A在圆2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.解析设圆心为C,则圆C:x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,故|AP|min=|PC|-r=2-1=1.答案112.(2017北京,理12)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则cos(-)=.解析方法1:因为角与角的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sin =sin =13,cos =-cos ,因此,cos(-)=cos cos +sin sin =-2232+132=-79.方法2:由角与角的终边关于y轴对称可得=(2k+1)-,kZ,则cos(-)=cos2-(2k+1)=-cos 2=2sin2-1=2132-1=-79.答案-7913.(2017北京,理13)能够说明“设a,b,c是任意实数,若abc,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.解析答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则abc,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若abc,则a+bc”是假命题.答案-1,-2,-3(答案不唯一)14.(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.解析(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然Ci的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p=y1+y2x1+x2=y1+y22x1+x22=kOC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得kOC2kOC1kOC3,故p1,p2,p3中最大的是p2.答案(1)Q1(2)p215.(2017北京,理15)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.16.(2017北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD平面MAC,PA=PD=6,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.(1)证明设AC,BD交点为E,连接ME.因为PD平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.(2)解取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD,所以OPOE.因为ABCD是正方形,所以OEAD.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,2),D(2,0,0),B(-2,4,0),BD=(4,-4,0),PD=(2,0,-2).设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则nBD=0,nPD=0,即4x-4y=0,2x-2z=0.令x=1,则y=1,z=2.于是n=(1,1,2),平面PAD的法向量为p=(0,1,0).所以cos=np|n|p|=12.由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为3.(3)解由题意知M-1,2,22,C(2,4,0),MC=3,2,-22.设直线MC与平面BDP所成角为,则sin =|cos|=|nMC|n|MC|=269.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为269.17.(2017北京,理17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“ ”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以的分布列为012P162316故的期望E()=016+123+216=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.18.(2017北京,理18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.(1)解由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=12.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为14,0,准线方程为x=-14.(2)证明由题意,设直线l的方程为y=kx+12(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1),直线ON的方程为y=y2x2x,点B的坐标为x1,y2x1x2.因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=kx1+12x2+kx2+