普通高等学校招生全国统一考试数学真题2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国文科数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国,文1)已知集合A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案:D解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以AB=8,14.故选D.2.(2015课标全国,文2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案:A解析:AB=OB-OA=(3,2)-(0,1)=(3,1),AC=(-4,-3),BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).3.(2015课标全国,文3)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案:C解析:(z-1)i=1+i,z=1+ii+1=(1+i)(-i)-i2+1=1-i+1=2-i.4.(2015课标全国,文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120答案:C解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为110.5.(2015课标全国,文5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案:B解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),c=2.ca=12,a=4.b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为x216+y212=1.抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.6.(2015课标全国,文6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.米堆底部的弧长为8尺,142R=8,R=16.h=5,米堆的体积V=1413R2h=1121625.3,V3209(立方尺).堆放的米约有32091.6222(斛).7.(2015课标全国,文7)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12答案:B解析:公差d=1,S8=4S4,8(a1+a8)2=44(a1+a4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.a10=a1+9d=12+9=192.8.(2015课标全国,文8)函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.k-14,k+34,kZB.2k-14,2k+34,kZC.k-14,k+34,kZD.2k-14,2k+34,kZ答案:D解析:不妨设0,由函数图像可知,其周期为T=254-14=2,所以2=2,解得=.所以f(x)=cos(x+).由图像可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f34=cos34+=-1,解得34+=2k+(kZ),解得=2k+4(kZ).令k=0,得=4,所以f(x)=cosx+4.令2kx+42k+(kZ),解得2k-14x2k+34(kZ).所以函数f(x)=cosx+4的单调递减区间为2k-14,2k+34(kZ).结合选项知选D.9.(2015课标全国,文9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.8答案:C解析:由于S=1,n=0,m=12,t=0.01,则S=S-m=12,m=m2=14,n=n+1=1,S0.01;S=14,m=18,n=2,S0.01;S=18,m=116,n=3,S0.01;S=116,m=132,n=4,S0.01;S=132,m=164,n=5,S0.01;S=164,m=1128,n=6,S0.01;S=1128,m=1256,n=7,S1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-14答案:A解析:f(a)=-3,当a1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.11.(2015课标全国,文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.12.(2015课标全国,文12)设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=()A.-1B.1C.2D.4答案:C解析:设(x,y)是函数y=f(x)图像上的任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在曲线y=2x+a上,-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a.f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1,解得a=2.第卷注意事项:第卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.答案:6解析:an+1=2an,即an+1an=2,an是以2为公比的等比数列.又a1=2,Sn=2(1-2n)1-2=126.2n=64,n=6.14.(2015课标全国,文14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=.答案:1解析:f(x)=3ax2+1,f(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a+2-71-2=5-a,5-a=3a+1,解得a=1.15.(2015课标全国,文15)若x,y满足约束条件x+y-20,x-2y+10,2x-y+20,则z=3x+y的最大值为.答案:4解析:画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由x-2y+1=0,x+y-2=0解得x=1,y=1,即点A的坐标为(1,1).由z=3x+y,得y=-3x+z.作出直线l0:y=-3x,并平移,当直线经过点A时,直线在y轴上的截距最大,即z最大.所以zmax=31+1=4.16.(2015课标全国,文16)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当APF周长最小时,该三角形的面积为.答案:126解析:设双曲线的左焦点为F1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.A(0,66),F1(-3,0),直线AF1的方程为x-3+y66=1,即x=y26-3.将其代入x2-y28=1得y2+66y-96=0,解得y=26或y=-86(舍去),因此点P的纵坐标为26.SAPF=SAF1F-SPF1F=12|F1F|yA-12|F1F|yP=12666-12626=126.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国,文17)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=2,求ABC的面积.解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=14.6分(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以ABC的面积为1.12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国,文18)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.解:(1)因为四边形ABCD为菱形,所以