北京市西城区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(理)试卷2013.4第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么UR|02Ax2|10BxUAB（A） |01x（B） |1（C） |（D）|12x2若复数 的实部与虚部相等，则实数iaa（A） 1（B） 1（C） 2（D） 23执行如图所示的程序框图若输出 ，则输入3y角 （A） 6（B） （C） 3（D） 4从甲、乙等 名志愿者中选出 名，分别从事 ， ， ， 四项不同的工作，每人承54ABCD担一项若甲、乙二人均不能从事 工作，则不同的工作分配方案共有（A） 种60（B） 种72（C） 种84（D） 种965某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表面积是2（A） 63（B） 1（C） 2（D） 436等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的na1013a36a（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7已知函数 ，其中 若对于任意的 ，都有22()logl()fxxc0(0,)x，则 的取值范围是1fc（A） (0,4（B） 1,)4（C） 1(,8（D） 1,)88如图，正方体 中， 为底面1CDAPAB上的动点， 于 ，且 ，则点 的PEE轨迹是（A）线段 （B）圆弧（C）椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，则曲线 的直角坐标方程为 C2cos1inxyC 10设等差数列 的公差不为 ，其前 项和是 若 ， ，则na0nnS230kS_k11如图，正六边形 的边长为 ，则ABCDEF1ACDB_ 12如图，已知 是圆 的直径， 在 的延长线上，OPP切圆 于点 ， 于 若 ， ，CD6CD10则圆 的半径长为_ ； _ B13在直角坐标系 中，点 与点 关于原点 对称点 在抛物线xOy(1,0)AO0(,)Pxy上，且直线 与 的斜率之积等于 ，则 _24yPB2014记实数 中的最大数为 ，最小数为 .设12,nx 12max,n 12min,nx ABC的三边边长分别为 ，且 ，定义 的倾斜度为,abccABCmax,int,bc（）若 为等腰三角形，则 _；ABCt（）设 ，则 的取值范围是_ 1at三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 的一个零点是 ()sincosfxax4（）求实数 的值； （）设 ，求 的单调递增区间 ()()23sincogf x()g16 （本小题满分 13 分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 名同学进行3学业检测（）求从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率；1（）记 为抽取的 名同学中男同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望X3X17 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， / ，CDEFABCDABCD，BCA2， 60（）求证： 平面 ；B（）求 与平面 所成角的正弦值；BCEA（）线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？DQEACQB证明你的结论18 （本小题满分 13 分）已知函数 ， ，其中 ()lnfxa()e3axgaR（）求 的极值；（）若存在区间 ，使 和 在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范M)(xfMa围19 （本小题满分 14 分）如图，椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两21(0)xyabFAB点当直线 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 AB60（）求该椭圆的离心率；（）设线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点记GABxy,DE的面积为 ， （ 为原点）的面积为 ，求 的取值范围GFD1SOED2S120 （本小题满分 13 分）已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对于 ， ，定义12(,)nAa nBbS；1,Bba； 与 之间的距离212(,)(,)(nnR AB为 1,|iidAab（）当 时，设 ， 若 ，求 ；5n5(1,2)Aa(2,413)(,)7dAB5a（） （）证明：若 ，且 ，使 ，则,nABCS0ABC； (,)()(,)dd（）设 ，且 是否一定 ，使(,)(,)d0？ABC说明理由；（）记 若 ， ，且 ，求 的(1,)nIS AnBS(,)(,)IAIBp(,)dAB最大值北京市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1 B； 2A； 3D ； 4B ； 5C； 6B； 7D ； 8A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ； 10 ； 11 20xy 3212 ， ； 13 ； 14 ， 151215,)注：12、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） （）解：依题意，得 ， ()04f1 分即 ， 2sincos04aa3 分解得 1a5 分（）解：由（）得 ()sincofxx6 分()()23sincogxfxxsinco)3sin2x7 分22(si)sixx8 分cos3in9 分 2si()6x10 分由 ，2kk得 ， 36kxkZ12 分所以 的单调递增区间为 ， ()gx,13 分16 （本小题满分 13 分）（）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ， (35):2:11 分所以，从甲组抽取的学生人数为 ；从乙组抽取的学生人数2为 2 分31设“从甲组抽取的同学中恰有 名女同学”为事件 ， 1A3 分则 ，1528C()PA故从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率为 115285 分（）解：随机变量 的所有取值为 X0,36 分， 21584C(0)P，1322156X， 352284849()C10 分136P所以，随机变量 的分布列为: X0123P5286985611 分 5930128628564EX13 分17 （本小题满分 14 分）（）证明：因为 ， ，BCA260在 中，由余弦定理可得 ，BCA3所以 2 分又因为 ， ACFB所以 平面 4 分（）解：因为 平面 ，所以 FCA因为 ，所以 平面 FCDBD5 分所以 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 ,CAFBxyzC6 分在等腰梯形 中，可得 ACDBD设 ，所以 1 3131(0,)(3,0)(,1)(,0),(,)22E所以 ， ， ),23(CE),(A),(B设平面 的法向量为 ，则有A=()x,yzn0,.CEAn所以 取 ，得 310,2.x 1zn(0,21)8 分设 与平面 所成的角为 ，则 ，BCEA|25sin|co,CBn所以 与平面 所成角的正弦值为 BCEA59 分（）解：线段 上不存在点 ，使平面 平面 证明如下： EDQQ10 分假设线段 上存在点 ，设 ，所以 ),213(t)0(t ),213(tC设平面 的法向量为 ，则有 QBCm),(cba,.BQ所以 取 ，得 0,31.2batc 1cm)1,032(t12 分要使平面 平面 ，只需 ， EACQB0nm13 分即 ， 此方程无解20103t所以线段 上不存在点 ，使平面 平面 EDQEACQB14 分18.（本小题满分 13 分）（）解： 的定义域为 ， ()fx(0,)1 分且 1()axfx2 分 当 时， ，故 在 上单调递减0a()0fx()fx0,)从而 没有极大值，也没有极小值 )(xf3 分 当 时，令 ，得 0a()0fx1a和 的情况如下：()fxf1(,)a(,)()fx0 故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ()f 1(,)a1(,)a从而 的极小值为 ；没有极大值 xlnf5 分（）解： 的定义域为 ，且 ()gR()e3axg6 分 当 时，显然 ，从而