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2016 年北京市通州区高考数学一模试卷(理科)一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 )1复数 z= 在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2如图的程序框图输出 S 的值为()A16 B32 C64 D1283若非空集合 A,B,C 满足 AB=C,且 A 不是 B 的子集,则“xC”是“xA”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A24 B20+4 C28 D24+45已知a n是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列,若 a1,a 3,a 6成等比数列,则a n的前 9项和等于()A26 B30 C36 D406若不等式组 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 的值是()A B C D7已知点 A(3,0) ,点 P 在抛物线 y2=4x 上,过点 P 的直线与直线 x=1 垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则 cosAPB 的值为()A B C D8若定义域均为 D 的三个函数 f(x) ,g(x) ,h(x)满足条件:xD,点(x,g(x) ) 与点(x,h(x) )都关于点(x,f(x) )对称,则称 h(x)是 g(x)关于 f(x)的“对称函数” 已知 g(x)= ,f(x)=3x+b,h(x)是 g(x)关于 f(x)的“对称函数” ,且 h(x)g(x)恒成立,则实数 b 的取值范围是()A (, B C D ,+)二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 )9 (x 2+ ) 6的展开式中 x3的系数是_ (用数字作答)10在ABC 中,A=60,AC=1,ABC 的面积为 ,则 BC 的长为_11如图,圆 O 的直径 AB=4,直线 CE 和圆 O 相切于点 C,ADCE 于 D,若ABC=30,则AD 的长为_12若 , , 是单位向量,且 =0,则( )( )的最大值为_13已知函数 f(x)=|log 2x|若 0ba,且 f(a)=f(b) ,则 2a+b 的取值范围是_14图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数(横坐标表示白圈的个数,纵坐标表示黑圈的个数) 比如第一行记为(0,1) ,第二行记为(1,2) ,第三行记为(4,5) ,照此下去,第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_,第 n(nN *)行中白圈与黑圈的“坐标”为_三、解答题(共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 )15已知函数 f(x)=cosx(sinxcosx) ()求函数 f(x)的最小正周期;()当 时,求函数 f(x)的最大值和最小值16中国天气网 2016 年 3 月 4 日晚六时通过手机发布的 3 月 5 日通州区天气预报的折线图(如图) ,其中上面的折线代表可能出现的最高气温,下面的折线代表可能出现的最低气温()指出最高气温与最低气温的相关性;()比较最低气温与最高气温方差的大小(结论不要求证明) ;()在内每个整点时刻的温差(最高气温与最低气温的差)依次记为t1,t 2,t 3,t 16,求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3的概率17如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形,EFAB,EFEA,AB=2EF=2,AED=90,AE=ED,H 为 AD 的中点()求证:EH平面 FBD;()求证:EH平面 ABCD;()在线段 BC 上是否存在一点 P,使得二面角 BFDP 的大小为 ?若存在求出 BP 的长,若不存在请说明理由18已知函数 f(x)=(x 2x )e ax(a0) ()当 a= 时,求函数 f(x)的零点;()求 f(x)的单调区间;()当 a0 时,若 f(x)+ 0 对 xR 恒成立,求 a 的取值范围19已知椭圆 M:x 2+2y2=2()求椭圆 M 的离心率;()设 O 为坐标原点,A,B,C 为椭圆 M 上的三个动点,若四边形 OABC 为平行四边形,判断ABC 的面积是否为定值,并说明理由20已知数列a n满足 a1=1,|a n+1a n|=pn,其中 nN *,p 是不为 1 的常数()证明:若a n是递增数列,则a n不可能是等差数列;()证明:若a n是递减的等比数列,则a n中的每一项都大于其后任意 m(mN *)个项的和;()若 p=2,且a 2n1 是递增数列,a 2n是递减数列,求数列a n的通项公式2016 年北京市通州区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 )1复数 z= 在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母根据平方差公式得到一个实数,分子进行复数的乘法运算,得到最简结果,写出对应的点的坐标,得到位置【解答】解:z= = = + i,复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限故选 A2如图的程序框图输出 S 的值为()A16 B32 C64 D128【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:模拟执行程序,可得k=1,S=1满足条件 k4,执行循环体,S=2,k=2满足条件 k4,执行循环体,S=8,k=4满足条件 k4,执行循环体,S=128,k=8不满足条件 k4,退出循环,输出 S 的值为 128故选:D3若非空集合 A,B,C 满足 AB=C,且 A 不是 B 的子集,则“xC”是“xA”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由于 AB=C,且 A 不是 B 的子集,由“xC”可得“xA” ,反之不成立即可判断出【解答】解:AB=C,且 A 不是 B 的子集,则“xC”“xA” ,反之不成立“xC”是“xA”的充分不必要条件故选:A4某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A24 B20+4 C28 D24+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为 4 高为 2 的正四棱锥,该几何体的下部是边长为 4 的正方体,由此能求出该几何体的表面积【解答】解:由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为 2 高为 1 的正四棱锥,该几何体的下部是边长为 2 的正方体,该几何体的表面积:S=52 2+4 2 =20+4 故选 B5已知a n是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列,若 a1,a 3,a 6成等比数列,则a n的前 9项和等于()A26 B30 C36 D40【考点】等差数列的前 n 项和【分析】设公差为 d,由已知得(2+2d) 2=2(2+5d) ,且 d0,解得 d= ,由此能求出a n的前 9 项和【解答】解:设公差为 d,a n是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列,a 1,a 3,a 6成等比数列,(2+2d) 2=2(2+5d) ,且 d0,解得 d= ,a n的前 9 项和 S9= =36故选:C6若不等式组 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 的值是()A B C D【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域,由直线 y=kx+ 过点 A(0, ) ,结合平面区域被直线y=kx+ 分为面积相等的两部分,可知直线过 B,C 的中点 D,求出 D 的坐标,利用两点求斜率公式得答案【解答】解:由约束条件 作出可行域如图,A(0, ) ,C(0,4) ,联立 ,解得 B(1,1) ,直线 y=kx+ 过定点 A(0, ) ,要使平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则直线 y=kx+ 过 BC 的中点 D,由中点坐标公式 D( , ) , 故选:B7已知点 A(3,0) ,点 P 在抛物线 y2=4x 上,过点 P 的直线与直线 x=1 垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则 cosAPB 的值为()A B C D【考点】抛物线的简单性质【分析】求出 P 的坐标,可知APB 中 BP=3,AP=3,AB=2 ,在APB 中,由余弦定理即可得 cosAPB【解答】解:由题意,可知 F(1,0) ,|PB|=|PF|=PA|,P 的横坐标为 2,不妨取点 P(2,2 ) ,又点 P 在抛物线 y2=4x 上,过点 P 的直线与直线 x=1 垂直相交于点 B,B(1,2 )已知点 A(3,0) ,可知APB 中 BP=3,AP=3,AB=2 ,在APB 中,由余弦定理可得 cosAPB= = = ,故选 D8若定义域均为 D 的三个函数 f(x) ,g(x) ,h(x)满足条件:xD,点(x,g(x) ) 与点(x,h(x) )都关于点(x,f(x) )对称,则称 h(x)是 g(x)关于 f(x)的“对称函数” 已知 g(x)= ,f(x)=3x+b,h(x)是 g(x)关于 f(x)的“对称函数” ,且 h(x)g(x)恒成立,则实数 b 的取值范围是()A (, B C D ,+)【考点】函数恒成立问题【分析】根据对称函数的定义,结合 h(x)g(x)恒成立,转化为点到直线的距离d1,利用点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解:作出 g(x)和 f(x)的图象,若 h(x)g(x)恒成立,则 h(x)在直线 f(x)的上方,即 g(x)在直线 f(x)的下方,则直线 f(x)的截距 b0,且原点到直线 y=3x+b 的距离 d1,即 d= = 1,即|b| ,则 b 或 b (舍) ,即实数 b 的取值范围是 ,+) ,故选:D二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 )9 (x 2+ ) 6的展开式中 x3的系数是 20 (用数字作答)【考点】二项式系数的性质【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的系数等于 3,求得 r 的值,即可求得展开式中 x3的系数【解答】解:由于(x 2+ ) 6的展开式的通项公式为 T r+1= x123r ,令 123r=3,解得 r=3,故展开式中 x3的系数是 =20,故答案为:2010在ABC 中,A=60,AC=1,ABC 的面积为 ,则 BC 的长为 【考点】余弦定理【分析】先利用三角形面积公式和 AC,A 求得 AB,进而利用余弦定理求得 BC【解答】解:由三角形面积公式可知 AB
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