北大附中河南分校 2013 届高三年级第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 是实数，且 ，则实数 （ ）a1aiRaA B1 C2 D 2【答案】B【解析】因为 ，所以不妨设 ，则 ，所1aiR,aixR1()aixi以有 ，所以 ，选 B.x2集合 2|0Ax， |lg(1)Bxyx，则 AB等于 （ ）A、 |01x B、 |2 C、 |2D、 |01x 【答案】D【解析】 , ,所以 ，选2x101xxD.3.已知向量 ,ab满足 |,|,ba,则 与 b的夹角为 ( )A、 3B、34C、 4D、 6【答案】C【解析】因为 ，所以 ，选 C.12cos,abA,4ab4.设等比数列 的公比 q=2，前 n 项和为 ，则 的值为 （ ）n nS43A 154 B 152 C 74 D 72 【答案】A【解析】 , ,所以 ，选 A.4141()5aSa2311qa4135Sa5定义行列式运算1234a= 321将函数 sin23()co1xf的图象向左平移6个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ）A ,04 B ,02C ,03D ,012 【答案】B【解析】根据行列式的定义可知 ，向左平移()sincos2=in()3fxx个单位得到 ，所以6()2sii63gx，所以 是函数的一个对称中心，选 B.()sinn02g(,)26设等差数列 a的前 项和为 ,S且满足 ,01615S则 1521,aS 中最大的项为A 6S B 7a 9a 8【答案】D 【解析】由 ，得 .由15158()=02S8a，得 ，所以 ，且 .所以数列169816()()aa9890ad为递减的数列.所以 为正， 为负，且 ， ，n18, ,na 15,S 16,0nS则 ， ， ，又 ，所以 ，所以最大的项为90Sa1 80Sa818,S810a，选 D.87等腰三角形 ABC中， 5,30,BPC为 边中线上任意一点，则P的值为（ ）A、 52 B、 2 C、5 D、 752【答案】D【解析】在等腰三角形 中， ，所以 ，,30AB 03,12BCA所以设 边上的中线为 ，所以 . .CDP,又 ，即 ，2()CPBDPBCDAAcosCA3cos3052CD所以 ，所以 ，所以53222537()4，选 D. 27542CPBDA8在数列 na中，已知 1,na等于 1()naN的个位数，则 2013a的值是（ ）A8 B6 C4 D2 【答案】C【解析】 ，所以 的个位数是 4， ，所以所以 的个位数是1274a3a784a8， ，所以 的个位数是 2， ，所以 的个位数是 6， 的个位4351667数是 2， 的个位数是 2， 的个位数是 4， 的个位数是 8， 的个位数是 2，所890a1以从第三项起， 的个位数成周期排列，周期数为 6， ，所以na235的个位数和 的个位数一样为 4，选 C.2013a39在同一坐标系中画出函数 logayx， xy， a的图象，可能正确的是（ ）【答案】D【解析】A 中，指数和对数函数的底数 ，直线的截距应大于 1，所以直线不正确。B1a中，指数和对数函数的底数 ，直线的截距应小于 1，所以直线不正确。C 中0指数和对数函数的底数不一致，错误。D 中，指数和对数函数的底数 ，直线的截a距大于 1，正确。选 D.10给出下列四个命题： 若集合 A、 B满足 A，则 B；给定命题 ,pq，若“ pq”为真，则“ pq”为真；设 ,abmR，若 ab，则 2amb； 若直线 1:0laxy与直线 2:10lxy垂直，则 1 其中正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】正确。若 pq，则 至少有一个为真，当有一个为假时， 为假，所, pq以 错误。当 时，有 ，所以错误。直线 的斜率为 ，直0m20abm1la线 的斜率为 1，若两直线垂直，所以有 ，解得 ，所以正确。所以正2l 1aa确的命题有 2 个，选 B.11已知函数 1()(*)nfxN的图象与直线 x交于点 P，若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x，则 1203log 2013l 2013logx的值为（ ）A1 B 1log 20132012 C - log20132012 D1【答案】A【解析】函数的导数为 ，所以在 处的切线斜率为 ，()=1nfxx()=1kfn所以切线斜率为 ，令 得 ，所以)y0y1n，所以1201203123x ，选 A.320201loglloglogxx12.偶函数 ()f满足 ，且在 ,时， ()2cos,4fxx则关于 x()()ff的方程 12xf在 ,6 上解的个数是 （ ）A1 B2 C3 D 4【答案】D【解析】由 得 ，所以函数的周期为 4，又()()fxf(4)(fxf，所以函数关于 对称，作出函数 和222x()fx的图象，由图象可知，两个图象的交点有 4，即方程在 上的解的个数1()xy ,6为 4 个，选 D. 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 向量 ba,的夹角为 120， |,3|,1| baba则 = 【答案】7【解析】 ，所以cos120A，所以 。2 35510()942ababA57ab14已知函数 ,)(xef，则 f 【答案】 1【解析】 ，所以 。0(),()312ff(0)3(2)1ff15已知正实数 xy满足 xy，若对任意满足条件的 ,xy，都有2()()a恒成立，则实数 a的取值范围为 【答案】 37,6【解析】要使 恒成立，则有 ，即2()()10xy2()1()xyaxy恒成立。由 得 ，即1a3xy23解得 或 （舍去）设 ，则2()4()xy6xytxy，函数 ，在 时，单调递增，所以 的最6t1xytt1t小值为 ，所以 ，即实数 的取值范围是 。137376aa37(,616设 sin2cosfxbx ，其中 ,0bR 若 fx对一切R恒成立，则以下结论正确的是_（写出所有正确结论的编号） 102f； )5(127ff； fx既不是奇函数也不是偶函数； x的单调递增区间是 2,63kkZ； 经过点 ,ab的所有直线均与函数 fx的图象相交【答案】 【解析】 为参数。因为 ，所以 是三角2()sin(),fxx()6ff6x函数的对称轴，且周期为 ，所以 ，所2T2,kZ，所以 .,6kZ2 2()sin()sin()66fxabxkabx,所以正确。2 211()sin)si0fab，2 2743i(f ab，因为17()sn)sin()55630ab，所以 ，所以 ，所以1723sini302(fab7()512f错误。函数既不是奇函数也不是偶函数，所以正确。因为，所以单调性需要分类2 2()sin()sin()66fxabxkx讨论，所以不正确。假设使经过点（a，b）的直线与函数 的图象不相交，则(f此直线须与横轴平行，且 ，即 ，所以矛盾，故不存在经过2ab22ab点（a，b）的直线于函数 的图象不相交故正确。所以正确的是 。()fx三、解答题（本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）已知函数 sinfxAx， R（其中 0A， ， 2），其部分图象如图所示（I）求 fx的解析式；（II）求函数 ()4gxffx在区间 0,2上的最大值及相应的 x值18（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和是 nS，且 12na)(N（1）求数列 的通项公式；（2）设 log3nSb，求适合方程51.321nbb的正整数 的值19（本小题满分 12 分）已知向量 (sin,)(cos,1)4axbx（1）当 /时，求 2in的值；（2）设函数 ()fx，已知在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别为abc、 、，若 36si,2,3Bba,求 62cos4xf （ 0,x）的取值范围20（本小题满分 12 分）设正项等比数列 na的首项 1,2前 n 项和为 nS，且 101032102().S（1）求 n的通项；（2）求 S的前 n 项 T21（本小题满分 12 分）已知函数 xaxfln1)()aR（1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数 )(f在 处取得极值，对 x),0(, 2(bxf恒成立，求实数 b的取值范围；22（本小题满分 12 分）设函数 ,)(xef.)(2xag(I)若 与 具有完全相同的单调区间，求 a的值；()若当 0时恒有 ),(f求 的取值范围.文科数学试题参考答案一、选择题：15：BDCAB; 610：DDCDB 1112：AD二、填空题：137 14-1 15 637, 16 三、解答题：17（I）由图可知， 1A， 42T，所以 2 1又 sin14f，且 2，所以 4所以 ()i4fx（II）由（I） ()sinfx，所以 ()4gxff= sisin44xsinsi2coinx1i2x因为 0,x，所以 20,， si0,1故 11sin2,，当 4x时， ()gx取得最大值 218（1） 当 1时， 1as，由 12a，得 13 1 分当 2n时， nn， 11n， 2 分 11nns