教材习题答案 87 第四章数列 4.1数列的概念 练习 .解析() . () . (). (). 图象略. .解析 () .解析() () () () () () () () () () . 所以数列()的前 项为 . .解析 () . () . 练习 .解析 图形略. (). (). () . .解析 (). (). .解析 . . .解析 当 时 当 时 () () 又 适合上式 . 习题 4.1 复习巩固 .解析 图象略. (). (). .解析 () . (). () . () . .解析 ()() . () () . () . () (). 综合运用 .解析 (). () . .解析三角形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 正方形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 五边形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 . .解析 (.) .(万元) (.) .(万元) (.) . (万元) (.) (万元). 拓广探索 .解析 ()证明: . . 是递增数列. 4.2等差数列 . 等差数列的概念 练习 .解析 ()是.()不是. ()不是.()是 . .解析 ().() . .解析 . . .解析 由已知 得 ()() 整理得 解得 . .解析 设这 个数构成公差为 的等 差数列 则 . . . 在 和 中插入 . 这 个数可使这 个数成等差数列. 练习 .解析 由题意知 ()() 即第 排有 个座位. .解析 图象略. 直线的斜率为. .解析 由已知得 () () 解得 . () ()() . .解析 ()数列是等差数列.证明 如下: 数列 都是等差数 列公差分别为 又 ( )( ) ()() 数列 是等差数列公差为 . () 公差 ()() . .解析()一个无穷等差数列去 掉前 项后其余各项组成的数列是 . 仍能满足定义: 这个新数列仍为等差数列且首项为 公差为 . ()所取出的项构成的数列为 . ( ) ()为常数 这个新数列仍为等差数列且首项为 88 公差为 . ()取出所有序号为 的倍数的项构成 的数列为 . () ( ) ()为常数 这个新数列仍为等差数列且公差 为 . 猜想:取出等差数列中所有序号为 ( )的倍数的项构成的数列仍为等 差数列. . 等差数列的前 项和公式 练习 . 解 析 ( ) ( ) () . () () . () () () . () .(). . . .解析 由题意知 ()() () () 解得 . .解析 由 得 解得 . . .解析 () ()() () () . .解析 设等差数列为首项为 公差为 其前 项和为 . 则由题意可得奇 ()() ()() () 偶 () () () () 解得 . 数列中间一项为 项数为 . 练习 .解析 第二种方式获奖者受益更多. 第二种方式每天领取的奖品价值构成 等差数列设首项为 公差为 则 . . 第二种领奖方式获奖者受益更多. .解析 当 时 当 时 ( ) () ( ) 不适合上式 . .解析 .(.)(.) . .(). . 易知当 时 时 当 时取得最小值. .解析 由 得 又 . 集合 中元素的个数为 这些元 素构成首项为 公差为 的等差数列 . .解析由 (.). (.) . (.)可知 当 时. 时. 当 时最小. 习题 4.2 复习巩固 .解析 () () () 解得 . () 解得 . () () () 解得 (负值舍去). () . () ( ) . .解析 设等差数列的公差为 . 解法一:由题意得 ( )() ()()() 解得 . () . 解法二: 又 . . () . .解析 ()从小到大排列的前 个正偶 数构成等差数列且 则 偶 () () . ()从小到大排列的前 个正奇数构成 等差数列且 则 奇 () () . ()在三位正整数的集合中 的倍数 从小到大排列构成等差数列且 . 由 ( ) 解得 . 所以 () . ()在小于 的正整数中被 除余 的数从小到大排列构成等差数列 且 由 ()解得 所以 . .解析 由题意可知哈雷彗星是以“等差数 列”的时间回归的不妨设此数列为 则 教材习题答案 89 所以通项公式为 () () 可计算出它在本世纪回归的时间为 年. 综合运用 .解析 设此多边形的边数为 各边的长构成等差数列首项为 公差为 前 项和为 . 则 由题意得 () () 解得 或 (舍). 多边形的边数为 . .解析 数列是等差数列 数列 也是等差数列. () . .解析 ()证明:设等差数列的首 项为 公差为 则 () () () () () 数列 是等差数列. ()由()知 为等差数列设公差 为 则 又 . 又 () . .解析 等差数列 的 首项为 公差为 其通项公式 () . 又等差数列 的首项为 公差为 其通项公式 ( ) . 由 得 . 新数列由数列 中的 奇数项构成即 首项为 公差为 项数为 . .解析 由题意知第 辆车到休息时行 驶了 各辆车行驶的时间构成 一个等差数列设该数列为首项 为 公差为 .则 则 () ( ). ()因为 所以截止到 时最后一辆车行驶了 . ()这支车队所有车辆行驶的总时间 为 () () 所以这支车队当天一共行驶的路程为 (). 拓广探索 .证明 等差数列的公差为 ()() () . 在斜率为 的直线 :() ( )上任取两点()()( )则 . 即公差为 的等差数列的图象是 由点()组成的集合这些点均匀 分布在直线 () ()上. .解析()由题表中的数据分析可 建立等差数列模型.设该数列为 首项为 公差为 . 则 . . . .() . ()由() 知 . . .(). 由 .得 .(). 这只虎甲虫连续爬行 能爬 . 它连续爬行 需要 . . .解析() ( ). () () 各式相加得 () . 所以数列的一个通项公式为 () . 4.3等比数列 . 等比数列的概念 练习 .解析 ()不是.()是公比为 . ()不是.()是公比为. .解析 或 . . .解析 解法一:由 得 解得 或 . 解法二: . 当 时 . 当 时 时成等比数列. 成 等 比 数列. 当 时成等比数列. 成等比数列. 练习 .解析 ()设这 个数组成的等比数列 为公比为 其中 90 . 故插入的两个数为 . ()设这 个数组成的等比数列为 公比为 其中 . () () () () () 故插 入 的 个 数 分 别 为 . .解析设数列的公比为 的公比为 () 数列 是以 为公比的等比 数列. () 数列是以 为公比的等比数列. .解析 设每年生产的新能源汽车数组 成一个数列则是等比数列 其中 所以 () . 所以 年全年约生产新能源汽车 辆. .解析 设年平均增长率为 则 ( ) 解得 . 所以这个城市空气质量为“优”“良”的 天数的年平均增长率应达到 . .解析 设 为数列中的最大项 则 即 () () 即 . . 取得最大值时 的值为 . . 等比数列的前 项和公式 练习 .解析 () () () . () . () () . () . () ( ) ( ) 即 . 解得 或 当 时 当 时 . .证明 左边 () () () 右边 原等式成立. .解析 设等比数列的公比为 . 由题意得 解得 或 . 或 () ( ) 或 () . .解析 设这三个数分别为 ( ). 则 . 又 即 解得 或 . 当 时 当 时 . 这个数列的首项为 公比为 或首 项为 公比为 . .解析设该等比数列为首项为 公比为 其前 项和为 若 则 . 当 时 由题意知 () () 得 即 . 练习 .解析 由题可知教育网站每月的用户 数构成一个等比数列 设该数 列 为 其中 .设经过 个月可使用户达到 万人. 则 (.) . . 所以大约经过 个月可使用户达到 万人. .解析 乒乓球每次落下后反弹的高度 数构成一个等比数列 其中. () 第 次着地时经过的总路程为 (.) . (). ()设至少在第 次着地后它经过的 总路程能达到 则 (. ) . . . 至少在第 次着地后它经过的总路 程能达到 . .解析 设这家牛奶厂每年应扣除 万 元消费基金才能实现经过 年资金达 到 万元的目标. 则 年底剩余资金是 ( ) 年底剩余资金是 () () ()( ) 年后资金达到 () ( ) ()()( ) 解得 所以这家牛奶厂每年应扣 除 万元消费基金才能实现经过 教材习题答案 91 年资金达到 万元的目标. .解析 当 时 即 由已知得 又 得 数列是首项为公比为 的 等比数列 () . 习题 4.3 复习巩固 .解析 () () () . ()由题意得 解得 或 . .解析()将数列中的前 项去 掉剩余的各项组成的新数列为 则 () 所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列. ()中的所有奇数项组成的新数 列是 则 (). 所以数列 是以 为首项为公比的等比数列. ()中每隔 项取出一项组成的 新数列是 则 (). 所以数列 是以 为首项为公比的等比数列. 猜想:略. .解析 ()( )( ) ( ) ()( ) () ( ) () ( ). ()当 时 () 当 时设 则 () . 得() 则 () . .解析 ()设生物体死亡时体内每克 组织中的碳 的含量为 记为 ()年后的残留量为 则是 以 为首项 为公比的等比数列即 . 由碳 的半衰期为 年 知 解得 ( ) . 则 . . () 设该动物的死亡时间大约距今 年 由 . 得 . . 解得 所以 该 动 物 的 死 亡 时 间 大 约 距 今 年. 综合运用 .证明 设数列的公比为 因为 成等差数列所以公比 且 即 () () ( ) . 于是 即 . 上式两边同乘 得 即 所以 成等差 数列. .解析设该数列为前 项和 为 . 解法一: () () () () ( ). 解法二: 个 () 同解法一. .解析 ()证明: ( ) 又 数列 是首项为公比为 的等比数列. ()由()知 ()() () (). 当 为偶数时 () . 当 为奇数时 () () . .解析 设 () 则 . 即 ()又 数列是以 为首项 为公比 的等比数列 . 数列的前 项的和为( ) . .解析 由题意得每一轮的感染人数构 成一个等比数列记为公比为 前 项和为 .则 . 则 () . . . . . 两边取对数得 . . . 又 . 又 平均感染周期为 天 天 感染人数由 个初始感染者增加到 人 大 约 需 要 轮 传 染 需 要 天. 拓广探索 .解析 () () () () . 当 或 时 取得最 大值为 的最大值为 . .解析()证明:由已知得 (). 数列 是首项为 公比为 的等比数列. ()由()可得 () () . 92 () () . .证明 ()设数列的公差为 . () () 数列为等差数列. ()(反证法)假设数列中存在三 项 (且 ) 能构成等比数列即 成立. 由()得 () () () () 整理得 () 与 矛盾. 数列 中的任意三项均不能构 成等比数列. 4.4*数学归纳法 练习 .解析()错误.缺第一步证明当 时命题成立. () 错误. 证明过程中没有使用归纳 假设. .证明 () . 当 时左边 右边 等式成立. 假设当 ()时等式成立 即 那么当 时 (). 即当 时等式也成立. 由知公式 对任意 都成立. () () (). 当 时左边 右边 () 等式成立. 假设当 ()时等式成立 即 () 那么当 时 () () ()() () ( ). 即当 时等式也成立. 由 知对任意 公式 () ()都成立. 练习 .证明当 时 等式 成立. 假设当 ()时有 () () (). 那么当 时() ()() () () () () ()( ) () (). 即当 时等式也成立. 故由数学归纳法的基本原理知原等式 成立. . 解 析 设 该 数 列 为 则 ().由 得 . 猜测: . 用数学归纳法证明 . 证明:() 当