教材习题答案 第六章平面向量 及其应用 6.1平面向量的概念 向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 练习 解析 悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度 解析 图中的有向线段表示一个竖直向 下、大小为 的力，图中的有向线段表 示一个水平向左、大小为 的力 图 图 解析 ， ， ， 解析 （）终点 、 的位置相同 （）由题意可知，当 与同向时，如图 图 ， ， 向量 与的方向相反 当 与反向时，如图 图 ， ， 向量 与的方向相同 习题 6.1 复习巩固 解析 如图 解析 与 相等的向量有 ，； 与 相等的向量有 ，； 与 相等的向量有 ， 综合运用 答案 （）（）（）（） （） （） 理由略 拓广探索 解析 相等的向量共有 对 模为 的相等向量有 对（其中与 同向 的共有 对，与 反向的也有 对，与同 向的共有 对，与 反向的也有 对）；模为 的相等向量有 对；模为 的相等向量有 对 6.2平面向量的运算 向量的加法运算 练习 解析 （） （） （） （） 解析 当 与 共线且方向相反时 答案 （） （） （） （） 答案 （） （） （） 解析 如图，设 表示小船的速度，表示 河水的速度，以 、为邻边作平行四边形 ，则 就是小船实际航行的速度 由已知条件可得 ， 小船实际航行速度的大小为 ， 方向与河水的速度间的夹角为 向量的减法运算 练习 解析 答案 ； 解析 当 ， 其中有一个为 时，（） 显然成立； 当 ， 不共线时，作图如图 所示，显然 （）； 图 当 ， 共线时，作图如图 所示，显然（ ） 图 向量的数乘运算 练习 解析 如图 答案 ； 解析 （） （） （） （） 练习 解析 （）因为 ，所以 ， 共线 （）因为 ，所以 ， 共线 解析 （）原式 （）原式 （）原式 解析 与 是共线向量， 存在实数 ，使 ， 即 （ ） ， ， 向量的数量积 练习 解析 解析 当 时， ， 为钝角， 为 钝角三角形； 当 时， ， 为直角， 为 直角三角形 解析 当 时，向量 在向量 上的投 影向量为 ； 当 时，向量 在向量 上的投影向量 为 ； 当 时，向量 在向量 上的投影向量 为 () 练习 解析 设向量 与 的夹角为 ，向量 与 的夹角为 （） ， （） 3131 32 （） ， （） 证明 与 垂直， （）（） ， 即 又 ， ， ， 证明 证法一：（）（） （）（） 证法二：（）（） （ ） （） 习题 6.2 复习巩固 解析（）向东走 ，再向东走 ， 即向东走 （）向东走 ，再向西走 ，即向东走 （）向东走 ，再向北走 ，即向东 北走 （）向西走 ，再向南走 ，即向西南 走 （）向西走 ，再向北走 ，再向西走 ，即向西北走 （）向南走 ，再向东走 ，再向南走 ，即向东南走 解析 飞机飞行的路程为 ；两次位移 的合成是向北偏西约 方向飞行 解析如图，设 表示船垂直于对岸的速 度， 表示水流的速度，以 、 为邻边作 ，则 就是船实际航行的速度，在 中， ， ， ， ， 故船实际航行的速度大小为 ， 方向与水流速度间的夹角约为 解析 （） （） （） （） （） （） （） 证明 如图所示，在平行四边形 中， 设 ， ， （） （）， （） 因为 ，所以 （） （） （） （）， （）， 因为 ，所以 （） （） 解析 （）如图 （）不一定能构成三角形结合向量加法的 三角形法则知，当三个非零向量的和为零向 量，且这三个向量不共线时，表示这三个向 量的有向线段一定能构成三角形本题不一 定能构成三角形 解析 （）如图 （）当 、 成垂直的位置关系时， 解析 （） （） （） （）（） 证明 因为 ， ， ， 所以 （ ） 答案 （）； （） 解析 （） ，（） ， （） ， 证明 设 与 的夹角为 （）当 时，等式显然成立 （）当 时， 与 ， 与 的夹角都 为 ，则 （） ， （） ， （） ， 所以（）（） （） （）当 时， 与 ， 与 的夹角都 为 ，则 （） （） ， （） ， （） （） ， 所以（）（） （） 综合运用 解析 （）四边形 为平行四边形，证 明略 （）四边形 为梯形 证明如下：因为 ， 所以 ，且 ， 所以四边形 为梯形 （）四边形 为菱形 证明如下：因为 ， 所以 ，且 ， 所以四边形 为平行四边形 又 ， 所以四边形 为菱形 解析如图， ， ， （）， ， ， （ ）， （） 证明 ， ， （ ） （ ） 又 、 分别为 、 的中点， ， ， ， 即 解析如图，丙地在甲地的北偏东 方 向，距甲地 解析 （） （） （） 证明：原式 解析（）（） ，于是可得 ， 所以 ，所以 解析 ， ， 证明 （） （） 拓广探索 由 ，得点 为 的中 点， 为外接圆的直径， ， 又 ， 为等边三角形 ， ， 向量 在向量上的投影向量为 解析 教材习题答案 33 解析 （） （）四边形 为平行四边形 证明： ， ， ， 四边形 为平行四边形 解析 的值只与弦 的长度有 关，与圆的半径无关 如图，取 的中点 ，连接 ， 则 ， 又 ， ， 所以 6.3平面向量基本定理 及坐标表示 平面向量基本定理 练习 解析 ； ； ； （） 解析 （） （ ） （） （） （）由（）得 ， ， 解析 （） 点 ， 分别是 ， 的中点， 且 ， （） 与 垂直 证明： ， () ， ，即 与 垂直 平面向量的正交 分解及坐标表示 平面向量加、减运算 的坐标表示 练习 解析 （）（，）（，） （，）， （，）（，） （，） （）（，）（，） （，）， （，）（，） （，） （）（，）（，） （，）， （，）（，） （，） （）（，）（，） （，）， （，）（，） （，） 解析 （） （，），（，） （） （，），（，） （） （，），（，） （） （，），（，） 解析 证明：由点 （，），（，），（，），（， ），得 （，）， （，），所以 ，所以 平面向量数乘运算 的坐标表示 练习 解析 （，） （，） （，）（，） （，） （，） （，） （，） （， ） （，） 解析 由已知得 ， 解析 （，）（，） （，）， （，）（，） （，） （） （） ， 与共线 解析 （）由 （，），（，），得线段 的中点坐标为（，） （）由 （，），（，），得线段 的中点 坐标为（，） （）由 （，），（，），得线段 的中点 坐标为（，） 解析 如图，点 是线段 的三等分点，有 两种情况，即 或 当 时， ， () ， ()， 即点 的坐标为 ， () 当 时， ，（） () ， ()， 即点 的坐标为 ， () 综上，点 是线段 的三等分点时，坐标为 ， ()或 ， () 平面向量数量积 的坐标表示 练习 解析 ， ， （ ，） （，） 解析 （，），（，），（，）， （） （，），（，）， （）（） （） （，）， （） （） （，）， （） 解析 （，），（，）， （） ， ， ， ， 习题 6.3 复习巩固 解析 ， () 解析 由（，），（，），（， ），得 （，）（，）（，） （，），所以作用在原点的合力 的坐标为（，） 解析 设向量 的终点 的坐标为（，） （）由（ ，） （，），得点 的坐标为 （，） （）由（，） （，），得点 的坐标为 （，） （）由（，） （，），得点 的坐 标为（，） 解析 由题意知 ，设 （，）， 则 ， ， 解得 ， 所以点 的坐标为（，） 解析 设 ，的坐标分别为（，），（， ），则 （ ，）， （ ，） 由 ，得（ ，） （，） （，）， 所以点 的坐标为（，） 由 ，得（ ，） （，）（，）， 34 所以点的坐标为（，） 所以 （，）（，）（，） 解析 由题意得 （，）， 所以 （ ， ）， （，）， （， ），又 （，）（ 为坐标原点），则 （， ），所以点 的坐标为（，）； （，），所以点 的坐标为 （，）； （，），所以点 的坐标为 （，） 解析 （）、 三点共线 证明：因为 （，）， （，），所 以 因为直线 与直线 有公 共点 ，所以 、 三点共线 （）、 三点共线 证明：因为 （，），（，），所 以 因为直线 与直线 有公共 点 ，所以 、 三点共线 （）、 三点共线 证明：因为 （，），（，），所以 因为直线 与直线 有公共点 ，所以 、 三点共线 解析 （） 是直角三角形， 为直角， 图略 证明： （，），（，）， 由 ，得 ， 为直角， 为直角三角形 （） 是直角三角形， 为直角，图略 证明： （，），（，），由 ，得 ， 为直角， 为直角 三角形 （） 是直角三角形， 为直角，图略 证明： （，），（，），由 ，得 ， 为直角， 为直角三 角形 解析 设 （，），则由题意得 ， 解得 ， 或 ， 于是 ( ， ) 或 ( ， ) 解析 设与 垂直的单位向量 （，）， 则 ， ， 解得 ， 或 ， ( ， )或 ( ， ) 综合运用 解析（） ， （ ） 证 明： () () ， ，即 解析 由题意得 （，），（，） 当 时， （，），所以点 的坐标为（，）； 当 时， （ ，） ， () ， ()， 所以点 的坐标为 ， ()； 当 时， （，）（，） （，），所以点 的坐标为（，）； 当 时， （，）（，） （，），所以点 的坐标为（，） 解析 设点 的坐标为（，）由点 在线 段 的延长线上，且 ，得 ， 即（，） （，）， 所以 （）， （）， 解得 ， 所以点 的坐标为（，） 证明 因为 （，），（，）， （，）， 所以 ， 所以以 （，），（，），（，），（， ）为顶点的四边形是一个矩形 拓广探索 解析 （）如图 ， ， 所以， ， 利用三角函数及勾股定理易得 （）对于任意向量 都存在唯一一对实数 ，使 ， 所以本题中对向量坐标的规定合理 证明 构造向量 （，），（，） 因为 （其中 为向量 ， 的夹角）， 所以 ， （） （ ） （ ） （ ）（ ）， 不等式中等号成立的条件是 ， 同向或反向 6.4平面向量的应用 平面几何中的向量方法 练习 证明 已知 （ ） ， （ ） ， 又 ， ， ， 解析 解法一： ， ， () () 解法二：建立如图所示的直角坐标系 则 （ ， ）， （ ， ）， ， ()， ， ()， 则 ， ()， ， ()， ， () （） ， () ， 解析 点 是 的中点， 又 ， 三点共线， 向量在物理中的应用举例 练习 解析 （，）（，） （，）， （，）（，） （）（）（） 教材习题答案 35 解析 由已知得 ， 设，则 ， ， 解析 （）如图，设 ，的合力为 ， 与 的夹角为 ，则利用三角函数及勾股定理 解图中两个直角三角形易得 （ ）， ，所以 （ ） （）由（）知 ，所以 与 的夹角 为 余弦定理、正弦定理 练习 解析 （） ， （）由余弦定理，得 ， 解析 由余弦定理的推论得 （ ）（ ） （ ） ， （ ）（ ） （ ） ， ， 解析 ， 由余弦定理得 ， 由余弦定理的推论得 ， 练习 解析 （） ， ， （）由正弦定理得 ， 为锐角， 有两解，或 当 时， 当 时， 解析（） 由正弦定理得 ， ， ， （）由正弦定理得 （） 解析 ， ， （） 由正弦定理得 练习 解析 在 中， （ ）， 由正弦定理得 （） （ ） 到直线 的距离 （ ） 因为 ， 所以这艘船可以继续沿正北方向航行 证明在 中， ， （）（） （） 在 中，根据正弦定理得 （） （） （） （） 所以山高为 （） （） 解析在 中， 根据余弦定理得 根据正弦定理得 ， ， 此船应该沿北偏东 的方向航行，需要 航行 习题 6.4 复习巩固 由 ，知 的平 分线与 边垂直，所以 为等腰三角 形，又 ，所以 ，所 以 所以 为等边三角形 若 ，则 为 的 外心；若 ，则 为 的重 心；若 ，则 为 的垂心故选 证明 如图， 为圆的直径设圆的半径为 ， 则 （ ） （ ） （ ） ， 即直径所对的圆周角是直角 解析 （） （，）（