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QP OF ED CBA证明三角形三条高交于一点资料证法一:运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知:ABC 的两条高 BE、CF 相交于点 O,第三条高 AD 交高 BD 于点Q,交高 CF 于点 P。求证:P、Q、O 三点重合证明:如图,BEAC,CF ABAEB = AFC = 90又BAE = CAFABE ACF ,AFECB即 ABAF = ACAE又ADBCAEQ ADC,AFP ADB ,ACQDE BPF即 ACAE = ADAQ, ABAF = ADAPABAF = ACAE,ACAE = ADAQ,ABAF = ADAPADAQ = ADAPAQ = AP点 Q、P 都在线段 AD 上点 Q、P 重合AD 与 BE、AD 与 CF 交于同一点两条不平行的直线只有一个交点BE 与 CF 也交于此点点 Q、P、O 重合。3 21OFED CBA证法二:连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边,运用四点共圆性质。已知:ABC 的两条高 AD、BE 相交于点 O,第三条高 CF 交高 AB 于点F,连结 CO 交 AB 于点 F。求证:CFAB。证明:ADBC 于 E,BEAC 于 EA、B、D、E 四点共圆1ABE同理212ABEABE+ BAC90,2+ BAC90即 CFAB。证法三:证明两条高的交点在第三条高线上,建立直角坐标系运用代数方法证明。证明:如图 6,以直线 BC 为 x 轴,高 AD 为 y 轴,建立直角坐标系,设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件 abkackABCFABE1,1则三条高的直线方程分别为: )3(CF2E)1(0Dcxabyx:xCDOyABFELNM F ED CBAOF ED CBA解(2)和(3)得 0)(,)()( xcbcxabc0,(bc 0x这说明 BE 和 CF 得交点在 AD 上,所以三角形的三条高相交于一点。证法四:转化为证明另一个三角形的三条中垂线(或中线)交于一点。已知:AD、BE、CF 是ABC 的三条高。求证:AD、BE、CF 相交于一点。证明:过点 A、B、C 分别作 BC、AC、AB 的平行线 ML、MN、NLAMBC ,MB AC四边形 AMBC 是平行四边形AMBC同理,ALBC AMALADMLAD 是 ML 的垂直平分线同理,BE、CF 分别是 MN、NL 的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点AD、BE、CF 相交于一点。证法五:运用锡瓦(Ceva)定理证明。已知:AD、BE、CF 是ABC 的三条高。求证:AD、BE、CF 相交于一点。证明:如图,ADBC 于 E,BEAC 于 E ABD CBF ( 1)CBAFD同理,由ADC BEC 得 , (2)E由AFC AEB ( 3)ABCF三式相乘得 1ABCAEFD即 1EAD、BE、CF 相交于一点。
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