4.1 因式分解,北师大版 八年级 数学 下册,1. 630可以被哪些整数整除？,思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？,解决这个问题，需要对630进行分解质因数,= ,（1）单项式单项式:3a4b= . （2）单项式多项式:a m+n = . （3）多项式多项式: a+b m+n = .,2.整式乘法类型,12ab,am+an,am+an+bm+bn,（1）平方差公式: (a+b)(ab ) = . （2）完全平方公式: (ab)2= .,3.特殊的整式乘法公式,a22ab+b2,a2b2,1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.,2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.,1. 能被100整除吗？,小明是这样做的：, = = = =. 所以， 能被100整除.,你知道每一步的依据吗？, = = = =. 所以， 能被100整除., 还能被哪些正整数整除？,还能被98,99整除,在这里，解决问题的关键是把一个数式 化成了几个数的积的形式.,2.将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?,用a表示任意一个大于1的整数，则：,= = = + = +, ,上面的式子化成了几个整式乘积的形式.,3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.,（1）,m,m,m,m,a,b,c,a+b+c, .,m(a+b+c),am+bm+cm,3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.,（2）,x,x,x+1,1,x+1, .,x,x,1,1,1,(+) , +,4.大家观察，这几个式子的变形有什么特点？ =(+)(), +=(+), += (+) .,把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.也可称为分解因式.,分解的对象必须是多项式； 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，且每个因式的次数不能高于原来多项式的次数； 必须分解到每个多项式都不能再分解为止.,结论,注意：,例1 能被45整除吗？,解： = ( ) ( ) ( ) = = ( ) = = = , 能被45整除.,当n为整数时， 证明： (+) () 是8的倍数.,解： (+) () =(+)(+) = = (+) () 是8的倍数.,巩固练习,A. + =+ B. +=(+) C. += + + D. +=(+ ),B,探究新知,判断下列等式从左到右的变形是否为因式分解？,（1） + = ,（2） = ,（3） =(+ )( ),（4） = + ,（5） =(+)(),不是,不是,不是,不是,不是,完成下列题目： = . + = . ( +) = .,根据左面算式，解决下列问题： = ( )( ). = ( )( ). += ( ) ., , , +,+,+,观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？,联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是整式乘法，右边一栏是因式分解， 他们的运算是相反的.,想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？,+ , ,整式乘法,因式分解,是互逆的恒等变形，即,例 (1)若多项式 +分解因式的结果为 (+)(),则+的值为 . (2)若 += (+) ,则= , = .,-3,1 4,1 2,已知2x2+4x-b的一个因式为x-1,则b=_.,6,解析：由题意知x-1是2x2+4x-b的一个因式， 即x=1时， 2x2+4x-b=0 将x=1代入上式，得2+4-b=0，解得b=6.,（2020丹阳）下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是（ ） A. + = B. += () C. += + + D. + =(+)(),B,1. 下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ） A. += () B. += + C. = D. += + +,A,2. 如果多项式 + 的一个因式是 ,那么另一个因式是（ ） A. cb+5ac B.c+b5ac C. 1 5 ac D. 1 5 ac,B,3. 若多项式 +（、是常数）分解因式后，有一个因式是+，则的值为 .,1,4. 已知,是ABC的三边，且 + + + =，试判断ABC的形状.,解： + + + =， + + =， 即 + () =. 根据三角形三边关系可知+， =， =，ABC为等腰三角形.,（1）求被墨水污染的一次式；,解：被墨水污染的一次式为 + + = + + =,（2）若被污染的一次式的值不小于2，求的取值范围.,解：根据题意得：， 解得：， 即的取值范围是.,2.已知,是ABC的三边，试判断 ( + ) 的正负性.,解： ( + ) = ( + ) () = + + + = (+) () = + + + , ,是ABC的三边， +，+，+， 原式，即 ( + ) .,代数基本定理告诉我们，对于形如 + + + =（其中 ， ， 为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是 的约数. 例如方程 + +=的整数根只可能为，代入检验得=时等式成立，故 + + 含有因式，所以原方程可转化为： + =，进而可求得方程的所有解 根据以上阅读材料，请你解方程 + =,解：取=,代入方程，得到=适合方程， 则原方程可以分解为 + =, 解得=或=+ 或= .,因式分解,定 义,与整式乘法运算的关系,把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.,因式分解,整式乘法,多项式化为整式乘积,因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形.,整式乘积化为多项式,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,