1.4 角平分线 （第1课时）,北师大版 八年级 数学 下册,如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）,D,C,S,解：作夹角的角平分线OC，,截取OD=2.5cm ,D即为所求.,O,1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理.,2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理.,3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问题.,操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将 三次数据填入下表：,观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_,C,O,B,A,PD=PE,实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知：如图， AOC= BOC,点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.,验证猜想：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明：, PDOA,PEOB，, PDO= PEO=90 .,在PDO和PEO中，,PDO= PEO，,AOC= BOC，,OP= OP，, PDO PEO(AAS).,PD=PE.,角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.,应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等.,几何语言：,OP 是AOB的平分线，,PD = PE.,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.,PDOA,PEOB，,证明：AD是BAC的角平分线，DEAB, DFAC，, DE=DF, DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF(HL)., EB=FC.,如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.,4,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,思考：交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,思考：这个结论正确吗？,逆 命 题,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,已知：如图，点P为AOB内一点，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求证：OP平分AOB.,验证：,证明：,OP平分AOB.,在RtPDO和RtPEO 中，,（全等三角形的对应角相等）.,OP=OP（公共边），,PD= PE（已知 ），,PDOA,PEOB，,PDO=PEO=90.,RtPDORtPEO（ HL）.,AOP=BOP,在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.,应用所具备的条件：,定理的作用：,判断点是否在角平分线上.,几何语言：, PDOA,PEOB，PD=PE.,点P 在AOB的平分线上.,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,角的平分线的性质,总结：,解：DEAB，DFAC，垂足分别为E，F， 且DE=DF，, AD平分BAC.,又BAC=60，BAD=30，, DE= AD= .,在RtADE 中，AED=90，AD=10，,如图所示，在ABC中，AD是BC边的中线，DEAB于点E，DFAC于点F，且BECF.求证：DA平分EDF.,证明：证法1： AD是ABC的中线，BDCD. 在RtBED和RtCFD中，BDCD，BECF， RtBEDRtCFD（HL）， DEDF.又DEAB，DFAC， AD是BAC的平分线，即EADFAD. 又ADE90EAD，ADF90FAD， ADEADF，即DA平分EDF.,证法2： 同证法1，可得RtBEDRtCFD. BC，ABAC. 又BECF，AEAF. 又AEDE，AFDF， DA平分EDF.,（2020湘潭）如图，点P是AOC的角平分线上一点，PDOA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 .,3,1.如图,在RtABC中,C=90,B=45,AD是CAB的平分线,DEAB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为_.,a-m,2. 如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC,交BC于点D,AB=10,SABD=15,则CD的长为( ),A,A.3B.4 C.5D.6,3. 如图,在ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是BAC,ABC的平分线, BAC=50,ABC=60,则EAD+ACD= ( ) A.75 B.80C.85 D.90,A,4.如图所示,在ABC中,P为BC上一点,PRAB,垂足为R,PSAC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论: AS=AR;QPAR;BRPCSP.正确的是( ) A.和B.和 C.和D.全对,A,1、如图,BD是ABC的平分线,DEAB于点E,ABC的 面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=_cm.,2,2、如图,ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PHAC于H;如果ABC=60, 则下列结论:ABP=30;APC=60;PB=2PH;APH=BPC, 其中正确的结论个数是 ( ) A.1B.2 C.3D.4,D,如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4, AB=14.,(1)则点P到AB的距离为_.,4,解：由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，,(2)求APB的面积.,ABPD=28.,(3)求PDB的周长.,解：,角平分线,性质定理,一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等,辅助线 添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,判定定理,在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,