1.1 等腰三角形 （第4课时）,北师大版 八年级 数学 下册,观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？,思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？,1. 能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.,2. 掌握含30角的直角三角形的性质并解决有关问题.,（2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）. 三个角相等的三角形是等边三角形.,（1）等边三角形有哪些性质？,等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”.,思考：,已知：如图，A= B=C. 求证： AB=AC=BC., A= B, AC=BC. B=C, AB=AC. AB=AC=BC.,证明：,三个角都相等的三角形是等边三角形.,证明：,已知： 若AB=AC , A= 60. 求证： AB=AC=BC.,AB=AC , A= 60 ， BC (180A)2= 60. A= B=C. AB=AC=BC.,证明：,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,证明：,证明:AB=AC,B=60(已知), C=B=60(等边对等角)， A=60(三角形内角和定理) A=B =C=60 ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).,已知:如图,在ABC中，AB=AC,B=60 求证:ABC是等边三角形,第二种情况：有一个底角是60.,1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.,等边三角形的判定方法：,3.定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形,2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.,推导过程：ABBCCA， ABC是等边三角形.,推导过程：A B C， ABC是等边三角形.,推导过程：ABAC，A 60， ABC等边三角形.,结论,三条边都相等,“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合,有一角是60的等腰三角形是等边三角形,等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60,三个角都相等的三角形是等边三角形,归纳总结,三条边都相等的三角形是等边三角形,例 如图,在等边ABC中,ABC与ACB的平分线相交于点O,且ODAB,OEAC. (1)试判定ODE的形状,并说明你的理由.,解： ODE是等边三角形. 理由：ABC是等边三角形,ABC=ACB=60, ODAB,OEAC, ODE=ABC=60,OED=ACB=60, ODE是等边三角形.,(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程.,解：BD=DE=EC. 理由:OB平分ABC,且ABC=60, ABO=OBD=30, ODAB,BOD=ABO=30, DBO=DOB,DB=DO,同理,EC=EO, DE=OD=OE,BD=DE=EC.,选用等边三角形判定方法的技巧 (1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定. (2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定. (3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60的等腰三角形是等边三角形来判定.,在ABC中，A=60，要使ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 .,ABAC或BC,如图,在等边三角形ABC中，DEBC, 求证：ADE是等边三角形.,证明：, ABC是等边三角形，, A= B= C., DE/BC, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,想一想：本题还有其他证法吗？,上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：ADE是等边三角形.,证明：, ABC是等边三角形，, A= B= C=60., AD=AE, ADE是等腰三角形., ADE是等边三角形.,又 A=60.,含30角的直角三角形的性质,操作:用两个含有30角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗 ?,猜想：在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?,30角所对的直角边等于斜边的一半.,证明猜想：,在直角三角形中, 30角所对的直角边等于斜边的一半.,已知:如图,在ABC中,ACB=90，A=30. 求证:BC= AB.,分析：证明“线段的倍、分”问题,“线段相等”问题, ACB=90 (已知)， ACD=90， 在ABC与ADC中， BC=DC，（作图） ACB=ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ABCADC（SAS） ， AB=AD. ACB=90,BAC=30 (已知) ， B=60， ABD是等边三角形， BC= BD= AB,证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD，,结论,定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半,推导过程：RtABC中 A30, BC AB,含30角的直角三角形的性质,已知：如图，在ABC中，AB=AC,B=15, CD是腰AB上的高. 求证：CD= AB.,证明：AB=AC,B=15, B=ACB=15， DAC=B+ACB= 15+15=30， ADC=90，CD= AC= AB,如图,在ABC中,B=C=60,点D在AB边上,DEAB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于(),A.5B.4C.3D.2,B,解析：在ABC中,B=C=60, A=60, ABC是等边三角形. DEAB,AED=30, AD=1,AE=2, BC=6,AC=BC=6, CE=AC-AE=6-2=4.,含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.,（2020恩施州）如图，直线l1l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，C=30，1=80，则2= .,40,1.下列条件中,不能得到等边三角形的是( ) A.有两个内角是60的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形,D,2. 三角形三边长分别为a，b，c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形,C,3.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则 BAC等于( ) A.60B.75 C.90D.135,A,4.在ABC中，B90，C30，AB3 则AC=_，BC=_,6,A,B,C,3,30,5.在ABC中,AB=AC=10 cm，BD是高，且ABD=30， 则CD=_.,5cm或15cm,证明：A=30，CDAB，ACB=90 BC= B=60， BD= BD=,1、已知:如图,在ABC中，ACB=90， A=30，CDAB于D 求证:BD=,BCD=30，,2、如图,ADBC,BD平分ABC,A=120,C=60, CD=4 cm,求BC的长.,证明:ADBC,A=120,A+ABC=180. 即ABC=180-A=180-120=60, ABD=DBC=30. BDC是直角三角形(BDC=90). 又CD=4 cm，BC=2CD=24=8(cm).,又C=60,如图:ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD. 求证:DEF是等边三角形.,证明：ABC为等边三角形, BAC=ABC=60,AB=AC=BC, EAF=EBD=120, BE=CD,BE+AB=BC+CD,即AE=BD,在AEF和BDE中, AEFBDE(SAS),EF=ED, 同理可得AEFCFD, EF=FD,EF=ED=FD, DEF为等边三角形.,等腰三角形的拓展,三条边都相等的三角形是等边三角形,等边三角形的判定,特殊的直角三角形的性质,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形,在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,