1.1 等腰三角形 （第2课时）,北师大版 八年级 数学 下册,在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.,思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？,1.进一步学习等腰三角形的相关性质.,2.了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质.,3.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题,等腰三角形的重要线段的性质,想一想： 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线. 试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？,作图观察,我们可以猜想： 等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的中线相等； 等腰三角形两腰上的高相等,你能证明你的猜想吗？,A,C,B,E,已知:,求证:,BD=CE.,如图, 在ABC中, AB=AC, BD和CE是ABC的角平分线,1,2,2= ACB(已知),AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).,证明：,又1= ABC，,1=2(等式性质),在BDC与CEB中，,DCB= EBC（已知），,BC=CB（公共边），,1=2（已证），,BDCCEB（ASA）,BD=CE(全等三角形的对应边相等),A,C,B,E,1,2,思考：如图，在等腰三角形ABC中， （1）如果ABD= ABC，ACE= ACB，那么BD=CE吗？ （2）如果ABD= ABC，ACE= ACB，那么BD=CE吗？,由此你得到什么结论?,在ABC中，如果AB=AC，ABD= ABC，ACE= ACB，那么BD=CE.,简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.,结论,A,C,B,E,已知:,求证:,BM=CN.,如图, 在ABC中, AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线,又CM= ，BN= ，,证明：,AB=AC(已知)，ABC=ACB.,CM=BN 在BMC与CNB中，, BC=CB,MCB=NBC, CM=BN，,BMCCNB（SAS）,BM=CN.,已知:,求证:,BP=CQ.,如图, 在ABC中, AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高,证明：,AB=AC(已知)，ABC=ACB.,在BMC与CNB中，, BC=CB,QBC=PCB, BQC=CPB，,BQCCPB（AAS）,BP=CQ.,思考：如图，在等腰三角形ABC中， （1）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？ （2）如果AD= AC，AE= AB，那么BE=CE吗？,由此你得到什么结论?,在ABC中，如果AB=AC，AD= AC， AE= AB，那么BD=CE.,简述为：两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.,结论,A,C,B,E,例 如图,在ABC中,AB=AC,CDAB于点D,BEAC于点E,求证:DEBC.,证明：AB=AC,ABC=ACB. 又CDAB于点D,BEAC于点E, AEB=ADC=90, ABE=ACD, ABC-ABE=ACB-ACD, 即EBC=DCB.,在BEC与CDB中, BECCDB,BD=CE, AB-BD=AC-CE,即AD=AE, ADE=AED. 又A是ADE和ABC的顶角, ADE=ABC, DEBC.,如图,已知AD,BE分别是ABC的中线和高,且AB=AC, EBC=20,则BAD的度数为 ( ) A.18 B.20 C.22.5D.25,B,下列说法: (1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合; (2)等腰三角形的两腰上的中线长相等; (3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高; (4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40. 其中不正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4,C,想一想： 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？,定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.,思考： 怎样证明这一定理？,可以利用等腰三角形的性质进行证明.,已知：如图,在ABC中， AB=AC=BC 求证：A=B=C=60,证明：在ABC中，AB=AC(已知)， B=C(等边对等角). 同理A=B 又A+B+C=180， A=B=C=60,例 如图,ABC是等边三角形，点D在AC边上，DBC=35，则ADB的度数为（ ）,A.25 B.60 C.85 D.95,D,如图,等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度数.,解：, ABC是等边三角形，,CBA=60.,BD是AC边上的中线，,BDA=90, DBA=30., BD=BE，, BDE=(180 DBA) 2 =(18030) 2=75., EDA=90 BDE=9075=15.,（2020绵阳）在螳螂的示意图中，ABDE，ABC是等腰三角形，ABC=124，CDE=72，则ACD=( ),A.16B.28 C.44D.45,C,1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100,则顶角的度数为 ( ),A.50B.80 C.100 D.130 ,B,2 .在ABC中，AB=AC，BD、CE分别为ABC、ACB的平分线，BD=5，则CE= .,5,3 .如图,在ABC中,CA=CB,ADBC,BEAC,AB=5,AD=4, 则AE=_.,3,4. 若如图,ABC是等边三角形,AD是角平分线,ADE是等边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:ADBC;EF=FD;BE=BD.其中正确的有_.(填序号),5. 如图,在ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交于点O.求证:OB=OC.,证明:BD,CE是ABC的两条中线, CD= AC,BE= AB, AB=AC,CD=BE,EBC=DCB. 在EBC和DCB中,BE=CD,EBC=DCB,BC=CB, EBCDCB(SAS),ECB=DBC,OB=OC.,1. 如图,AB=AC,BD=DC,DFAB,DEAC,垂足分别是F,E. 求证:DE=DF.,证明:AB=AC,B=C, DFAB,DEAC,BFD=CED=90, 在BDF和CDE中， BD=DC, B=C， BFD=CED， BDFCDE（AAS）,DE=DF.,2. 如图, ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由.,证明:AEBC,理由如下: ABC和DEC是等边三角形, BC=AC,CD=CE,BCA=ECD=60,B=60, BCA-DCA=ECD-DCA,即BCD=ACE,在ACE和BCD中, ACEBCD(SAS), EAC=B=60, ACB=60,EAC=ACB, AEBC.,如图,在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQAD于点Q. (1)求证:ABECAD.,证明:ABC为等边三角形， AB=AC,BAC=ACB=60， 在BAE和ACD中, BAEACD（SAS）.,(2)求PBQ的度数.,解:BAEACD, ABE=CAD, BPQ为ABP的外角, BPQ=ABE+BAD, BPQ=CAD+BAD=BAC=60， BQAD,PBQ=30.,等边三角形的性质,等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60,等腰三角形重要线段的性质,底角的两条角平分线相等,两条腰上的高相等,两条腰上的中线相等,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,