201年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分一、选择题(2012年高考（新课标理)）已知函数;则的图像大致为 （2012年高考（浙江理)设a0,0( ）A若,则b若,则ab .若,则abD若,则b成立其余选项用同样方法排除 【答案】【解析】，由,函数为增; ,由,函数为减； ，由,函数为减； ,由,函数为增 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于,则函数为增,当导函数小于则函数递减. 解析:,令得,时,为减函数;时,，为增函数,所以为的极小值点，选D 【解析】若函数在R上为减函数,则有.函数为增函数，则有，所以，所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件,选A. 考点分析：本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为 【答案】C【解析】,故，答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力 答案A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而，当时取得极值 由或可得或，即.二、填空题 NxyODM15P图2xyABC15图1解析如图1, 所以，易知,y=x()的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形MP的面积S=.评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路 【解析】由已知得,所以，所以 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. . 【点评】这里，许多学生容易把原函数写成,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等 解析:.，所以切线方程为,即 三、解答题 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力(1)的定义域为得：时，(2）设则在上恒成立()当时,与（）矛盾当时,符合（*）得:实数的最小值为(lfxlby)(3)由(）得:对任意的值恒成立取：当时, 得：(lbylfx)当时,得:【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中，解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行 【解析】（1） 令得：得:在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 当时，在上单调递增 时,与矛盾 当时, 得:当时， 令；则 当时, 当时,的最大值为 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. （) （) 当b0时，0在0x1上恒成立, 此时的最大值为：=|2a-|a； 当b0时,在0x1上的正负性不能判断, 此时的最大值为: =|2b|； 综上所述:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a; () 要证+|aba0,即证=-b. 亦即证在01上的最大值小于（或等于)|2a-ba, ,令 当b时,0在01上恒成立, 此时的最大值为:=|2-b； 当时,在上的正负性不能判断， |2ab|; 综上所述：函数在0x1上的最大值小于（或等于)2a-b|a.即+|2a-ba0在x上恒成立. ()由(）知：函数在x1上的最大值为2a-|a， 且函数在0x1上的最小值比（|2a|)要大.1对x0,1恒成立, |a-b|1.取为纵轴,a为横轴则可行域为:和，目标函数为z=a+b.作图如下:由图易得：当目标函数为z=a过(1,2)时,有,.所求ab的取值范围为:.【答案】(） 见解析；（). 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为，即,从而,解得 （)由（1)知， 令,解得(因不在定义域内,舍去）, 当时，,故在上为减函数;当时,故在上为增函数;故在处取得极小值 解析:（),时, ,在内存在零点. 又当时, 在上是单调递增的，所以在内存在唯一零点.(）当时, 对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:()当,即时, ,与题设矛盾 ()当,即时, 恒成立()当,即时， 恒成立. 综上可知, 注：()()也可合并证明如下: 用表示中的较大者.当，即时, 恒成立 （3）证法一 设是在内的唯一零点, 于是有 又由(）知在上是递增的，故， 所以,数列是递增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内，故, 所以,数列是递增数列. 解析:由f（x) =可得,而，即，解得; (）,