考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1(1安徽高考文科10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是( ）（A）1 (B)2 （C)3 (D)4【思路点拨】 代入验证,并求导得极值,结合图象确定答案.【精讲精析】选A.代入验证,当n=1时,，则,由0可知,，结合图象可知函数应在(0,）递增,在递减,即在处取得最大值，由知存在.2.(1辽宁高考理科T1）函数（）的定义域为R，f(-1）=2,对任意xR，则f(x）2x+的解集为（A)（1，1) （）(1,+) (C）（-,1） （D)（-，+）【思路点拨】先构造函数,求其导数，将问题转化为求单调性问题即可求解【精讲精析】选B构造函数,则，又因为,所以,可知在R上是增函数，所以可化为，即,利用单调性可知，.选.3（201安徽高考理科T0）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是(A） () (C) () 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数,然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值.【精讲精析】选B函数的导数则在上大于,在上小于,由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n2.二、填空题4（211广东高考理科12）函数在 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况,从而得出取得极值的时刻.【精讲精析】答案：由解得或，列表如下：2+-增极大值减极小值增当时,取得极小值.5(2011辽宁高考文科T1)已知函数有零点，则的取值范围是 【思路点拨】先求，判断的单调性.结合图象找条件.本题只要使的最小值不大于零即可.【精讲精析】选A,=由得,.由得，在处取得最小值.只要即可,.的取值范围是.(2011江苏高考2)在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，则的最大值是_【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标的表达式,然后考虑单调性求解最值。【精讲精析】答案：设则,过点作的垂线,，所以，t在上单调增，在单调减，。三、解答题7.(2011安徽高考理科T1）设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围.【思路点拨】()直接利用导数公式求导,求极值（)求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对求导得，()当令，则.解得,列表得x+0-0+极大值极小值所以，是极小值点,是极大值点.（)若为上的单调函数,则在R上不变号，结合与条件a,知在R上恒成立，因此由此并结合,知.8.（011福建卷理科8）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：千克）与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式，其中3x0时，函数f（x）的递增区间为(1，+）,单调递减区间为（0,1)(3)当时，由(2)可得,当在区间上变化时,的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增又，所以函数的值域为.据此可得,若则对每一个直线与曲线都有公共点；并且对每一个,直线与曲线都没有公共点.综上，当时，存在最小的实数,最大的实数，使得对每一个,直线与曲线 都有公共点.10.(2011江苏高考17）请你设计一个包装盒,如图所示,B是边长为60的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。E，F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设。（1)某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V最大,试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。【思路点拨】本题主要考查的是从实际生活中提取数学模型，然后利用数学知识进行解决，所以解决本题的关键是正确的列出侧面积和容积的表达式,然后根据二次函数的最值和导数法求最值求解。【精讲精析】设包装盒的高为,底面边长为由已知得。（1），所以当时,S取得最大值。(2)。由得，(舍)或。当时；当时,所以当时取得极大值,也是最大值,此时，即包装盒的高与底面边长的比值为。11.（011江苏高考1)已知a，是实数,函数和是的导函数，若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致()设,若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；(2)设且，若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|b|的最大值【思路点拨】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息,注意条件的转化，函数和在区间上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理。【精讲精析】解法一:。(1)由题意得,在上恒成立。因为，故,进而，即在区间上恒成立，所以,因此的取值范围是。(2)令，解得,若,由得，又因为，所以函数和在上不是单调性一致的。因此。现设。当时，；当时,。因此,当时,故由题设得且，从而，于是，因此,且当时等号成立。又当时,),从而当时,故函数和在上单调性一致的。因此的最大值为解法二：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以,即即(2)当时，因为，函数和在区间(b，)上单调性一致，所以，即,设，考虑点(,)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则;当时,因为，函数和在区间（a, b)上单调性一致,所以,即,当时，因为,函数和在区间（a,b)上单调性一致，所以,即而x=0时，不符合题意， 当时,由题意:综上可知，。12. （2011新课标全国高考理科2）已知函数,曲线在点处的切线方程为.(）求、的值；（)如果当,且时，,求的取值范围.【思路点拨】第(1）问,对函数求导得,对应为切线的斜率，切点即在切线上又在原函数上,利用上述关系，建立方程组,求得的值;第（)问，首先化简函数式,再来证明不等式成立即可,必要时分类讨论.【精讲精析】()由于直线的斜率为，且过点,故即解得,.（)由(）知,所以.考虑函数,则(i)设,由知,当时，,h（x)递减.而,故当时, ，可得；当x(1,+）时,h(x)0，且x1时，f（x）-（+)0，即f（x)+.(ii)设k1.由于=的图像开口向下，且,对称轴x.当x（，)时,（k-）（2+1）2x0,故 ()0,而h（）=0,故当（1,)时,h(x)0,可得h(x)0,而h(1)=0,故当(1,+）时，h(x）0,可得 （x)0,与题设矛盾. 综合得,k的取值范围为（-,013. (011新课标全国高考文科21）已知函数,曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；()证明:当，且时,.【思路点拨】第（1）问,对函数求导得,对应为切线的斜率,切点即在切线上又在原函数上,利用上述关系,建立方程组，求得的值；第(2)问，,先化简函数式，再来证明不等式成立即可,必要时分类讨论.【精讲精析】(）由于直线的斜率为，且过点，故即解得,.（)由（）知(x)=所以考虑函数则h(）=所以x1时h（x)0可得,x h()0，讨论函数f()=lxa(1a)2-2(1a)x的单调性.【思路点拨】先求的导函数，再由的不同取值范围，解不等式,从而确定的单调区间.在解本题时一定要注意的定义域为【精讲精析】函数的定义域为当的判别式当有两个零点，且当内为增函数;当内为减函数；当内为增函数；当内为增函数；当在定义域内有唯一零点，且当内为增函数;当时,内为减函数。的单调区间如下表： （其中)1.(