Prepared on 21 November 2021三角函数最值及其综合运用知识点总结及高考题解析三角函数最值及其综合运用【考纲说明】1、了解三角函数的最值（值域），理解三角函数取最值的条件，掌握求三角函数最值的常用方法。2、结合三角函数的性质，会求形如函数、的综合问题。【知识梳理】一、三角函数的最值1、定义（1）当时，取最小值；当时，取最大值1；正弦函数的值域为。（2）当时，取最小值；当时，取最大值1；余弦函数的值域为。（3）的值域为R。2、常用方法（1）求三角函数最值的常用方法配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；数形结合法（常用到直线的斜率关系）；换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；基本不等式法等。（2）三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间。求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。（3）具体方法：y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y= sin（x+）y=asin2x+bsinx+c型：常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：y=型：i当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）型。ii转化为直线的斜率求解。（特别是定义域不是R时，必须这样做）同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决。已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式。几个重要的三角变换：可凑倍角公式；可用升次公式；可化为，再用升次公式；或（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握。单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数、 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的。三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。三角函数的奇偶性：i 函数是奇函数ii函数是偶函数iii函数是奇函数iv函数是偶函数正切函数的单调性：正切函数， ，在每一个区间上都是增函数，但不能说在其定义域上是增函数注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式但往往代数运算比较繁。2、 的图像和性质的综合运用1、 三角函数、的定义域为R，的定义域为。2、 函数、的最大值为，最小值为；函数的值域为R。3、函数的对称轴为，对称中心为；函数的对称轴为，对称中心为；函数的对称中心为。上述。【经典例题】【例1】（2010安徽）设，对于函数，下列结论正确的是 A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值【解析】令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选答案B。【例2】（2011福建）已知函数在区间上的最小值是2，则的最小值等于A. B. 【解析】函数在区间上的最小值是，则x的取值范围是， 或，的最小值等于，故选答案B。【例3】（2010辽宁）已知函数,则的值域是A、 B、 C、 D、 【解析】即等价于，故选择答案C。【例4】（2009福建）已知函数其中，（I）若求的值；（）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。【解析】（I）由得即又（）由（I）得，依题意，又故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当 即 从而，最小正实数。【例5】（2009福建）已知向量且。（1）求的值；（2）求函数的值域。【解析】（1）由题意得，因为cosA0，所以tanA=2（2）由（1）知tanA=2得 ，当，有最大值；当，有最小值。 所以所求函数的值域为【例6】（2009江苏）已知函数（）求实数的值；（）求函数的最大值及取得最大值时x的值【解析】 时，函数f(x)的最大值为12【例7】（2008全国）已知函数的定义域为，值域为 5，1 ，求常数的值。【解析】 ， ， ， 当a 0时，b f ( x ) 3a + b， 解得 当a 0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、3 11、（2008全国卷文）函数的单调减区间是（ ）A、 （） B、C、 D、12、（20010天津）函数为增函数的区间是（ ）.A、 B、 C、 D、二、填空题：13、（2009全国理）若，则函数的最大值为 14、（2010广东理）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC= .15、（2010福建理）已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 .16、（2010江苏）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则= .三、解答题：17、（2010广东）已知函数。（I） 求的最小正周期； （II）求的的最大值和最小值；（III）若，求的值。18、（2009辽宁）已知函数，.求：（I）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（II）函数的单调增区间。19、（2008山东）已知函数f(x)=A(A0,0,0)函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）。（1）求； （2）计算f(1)+f(2)+ +f(2 008)。20、（2011江西）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGA（）。（1）试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；（2）求y的最大值与最小值。【课后作业】1 选择题1、若0，sin+cos=a，sin+cos=b，则（ ）A、ab1 B、ab1 C、ab1D、ab12、函数f（x）=cos2x+sinx在区间，上的最小值是（ ）A、B、 C、1D、3、函数y=xsinx在，上的最大值是（ ）A、1B+1 C、D、4、函数y=log2（1+sinx）+log2（1sinx），当x，时的值域为（ ）A、1，0 B、（1，0 C、0，1）D、0，15、当y=2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是（ ）A、B、C、D、46、函数y=log2（1+sinx）+log2（1-sinx），当x，时的值域为（ ）A、1，0B、（1，0C、0，1）D、0，17、若角满足条件sin20，cossin0，则在（ ）A、第一象限B、第二象限