专题 3排列组合、二项式定理命题趋势排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想考点清单1排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同组合的个数公式性质Ann=n!，0!=1Cn0=1，Cnm=Cnn-m，Cnm+Cnm-1=Cn+1m正确理解组合数的性质（1）Cnm=Cnn-m：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法数（2）Cnm+Cnm-1=Cn+1m：从n+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：不含特殊元素A有Cnm种方法；含特殊元素A有Cnm-1种方法3二项式定理（1）二项式定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn(nN*) ；（2）通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk，它表示第k+1项；（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn1，Cnn4二项式系数的性质（1）项数为n+1各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n（2）二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指Cn0，Cn1，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关如(a+bx)n的二项展开式中，第k+1项的二项式系数是Cnk，而该项的系数是Cnkan-kbk当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的 精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）A24B12C10D62琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）ABCD3今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ）ABCD4已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（ ）ABCD5为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）ABCD6从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：C201C301C482；C504-C204-C304；C201C303+C202C302+C203C301则其中正确算式的个数是（ ）A0B1C2D37的展开式中x3的系数为（ ）ABCD8展开式中x-2y3项的系数为160，则a=（ ）A2B4CD-22二、填空题9将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_种不同的放法10某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为_11一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P2，6的跳法共有_种12如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_种13数列an中，a1=1，an+1=2an+1（nN*），则_14多项式展开式的常数项为_（用数字作答）高频易错题一、选择题1新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种A252B540C792D6842市教体局选派5名专家到A，B，C三所学校视导高三工作，要求每个学校至少派一名专家，则不同的派法种数是（ ）A90B150C240D300二、填空题3某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，则共有_种不同的安排方法（用数字作答）精准预测题一、选择题1在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)18+(1-x)19的展开式中，含x3的项的系数是（ ）A4840B-4840C3871D-38712从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）AC84-12BC84-8CC84-6DC84-43式子的展开式中，x3y3的系数为（ ）A3B5C15D2042x2-x-15的展开式中的系数为（ ）A400B120C80D0二、填空题5一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是_6高三年级毕业成人礼活动中，要求A，B，C三个班级各出三人，组成33小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为_7某班要从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出4人参加4100米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有_种8已知2-x21+ax3的展开式的所有项系数之和为27，则展开式中含的项的系数是_91-2x5展开式中x3的系数为_；所有项的系数和为_参考答案经典训练题一、选择题1【答案】C【解析】当个位数是0时，有A33=6个；当个位数是5时，有C21A22=4个，所以能被5整除的个数是10，故选C【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题2【答案】B【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为，所以所求的概率，故选B【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法3【答案】A【解析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有C84=70种，当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，同理：当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为，故选A【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题4【答案】D【解析】由题意，4个班级的班主任监考4个班级，共有A44=24种不同的监考方式，其中有1人在本班监考的有C412=8种；有2人在班监考的有种；有4人在班监考的有1种，在不符合条件的监考安排方法有8+6+1=15种，所以4个班主任都不监考，共有24-15=9种，则4个班主任都不监考的概率为，故选D【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力5【答案】D【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C95=126，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为，则每个宣传小组至少选派1人的概率为，故选D【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可6【答案】C【解析】错，计算有重复；对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，故选C【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题“捆绑法”；（2）元素相间的排列问题“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法7【答案】D【解析】展开式的通项公式为，令，则r=1，所以的展开式中x3的系数为，故选D【点评】本题考查了二项式定理展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题8【答案】C【解析】二项式1+ay6展开式的通项为Tr+1=C6r16-rayr=C6raryr，令r=3可得二项式1+ay6展开式中的系数为C63a3，展开式中x-2y3的系数为-1C63a3=160，可得a3=-8，解得a=-2，故选C【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题二、填空题9【答案】535【解析】四个盒子放球的个数如下：1号盒子：0，1；2号盒子：0，1，2；3号盒子：0，1，2，3；4号盒子：0，1，2，3，4，结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：