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定州市20202021学年度第二学期期中考试高二数学试题考试时间:120分钟 满分:150分本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.)1.已知集合,则( )A.B.C.D2.已知复数与为共辄复数,其中,i为虚数单位,则( )A.1B.5C.D.3.下列命题中,正确的是( )A.,B.,C.命题“,使得”的否定形式是“,使得D.方程有两个正实数根的充要条件是4.已知函数,若对任意,且,都有,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5.设函数是定义在上的奇函数,且,若,则( )A.B.C.D.6.设,若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.7.如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器,匀速给容器注水,则容器中水的体积V是水面高度x的函数,若正数a,b满足,则的最小值为( )A.B.C.D.8.已知函数,若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.)9.已知i是虚数单位,以下四个说法中正确的是( )A.B.复数的虚部为C.若复数z满足,则z所对应的点在第一象限D.已知复数z满足,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线10.设正实数,满足,则( )A.B.C.D.11.函数的定义域为R,且与都为奇函数,则( )A.为奇函数B.为周期函数C.为奇函数D.为偶函数12.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为,则( )A.平面EABB.该二十四等边体的体积为C.该二十四等边体外接球的表面积为D.与平面EBFN所成角的正弦值为第卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的横线上)13.不等式的解集是,则_.14.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm,表面积等于144cm2,则该正四棱柱的侧面积为_cm2.15.已知函数,若对于任意的,总存在,使得成立,则实数的值为_.16.一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此正三棱柱的内切球与外接球表面积之比为_.四、解答题(本大题共6小题,共70.分:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合,集合.(1)若,求实数m的值;(2)若,求实数m的取值范围.18.已知函数.(1)当时,求函数的最小值;(2)若函数在上恒成立,求实数m的取值范围.19.已知正实数、满足.(1)求的最小值;(2)求的最小值;(3)求的最小值.20.如图所示的几何体中,都是等腰直角三角形,且,.(1)求证:平面;(2)若F为线段BC的中点,求二面角的余弦值.21.定州市民小王新购置了一套住房,拟对新房进行装修.在装修中需满足如下5要求:窗户面积应小于地板面积;窗户面积不小于地板面积的;窗户面积与地板面积的比值越大,采光效果越好.设窗户面积为m平方米,地板面积为n平方米,已知,其中k为常数.已知当窗户和地板的总面积为22平方米时,窗户面积恰好是地板面积的.(1)求实数k的值;(2)在满足装修的要求下,求窗户面积可以取到的范围;(3)当采光效果最好时,求窗户的面积.22.如图,四棱锥中,底面是直角梯形,.(1)求证:平面平面;(2)设,当二面角的余弦值为时,求的值定州市2020-2021学年第二学期高二期中考试数学答案考试时间:120分钟 满分:150分本试卷分第卷(选择题)和第I卷(非选择题)两部分.第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.)1.【答案】D【解析】由题意知集合A为点集,集合B为数集,所以,故选:D.2.【答案】B【解析】由题意得,解得,所以,则.故选:B.3.【答案】C【解析】对于A,当时,故A错误;对于B,恒成立,故B错误;对于C,根据全称命题的否定是特称命题,则命题“,”,使得的否定形式是“,使得”,故C正确;对于D,方程有两个正实数根,设为,则充要条件是,解之得,故D错误.故选:C.4.【答案】C【解析】由题意任意,且,即为,所以函数在单调递增,又函数为二次函数,故其开口向上,且对称轴在区间的左侧,即,解得.故选:C.5.【答案】C【解析】是定义在R上的奇函数,由得,.故选:C.6.【答案】A【解析】由,得当时,或;当时,或,因为“”是“”的充分不必要条件,所以“”是不等式的解集的真子集,所以或,即.故选:A7.【答案】A【解析】因为半径和高都是1,所以水的半径和高都是x,而,所以,当且仅当时取得等号.故选:A.8.【答案】D【解析】由,为R上的偶函数,又当时,和都为增函数,所以在上单调递减,在上单调递增,由不等式对任意恒成立,得在上恒成立,即,也即即,解得.故选:D.二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.请将正确答案的序号填涂在答题卡上.)9.【答案】AD【解析】A选项,故A正确;B选项,z的虚部为-1,故B错误;C选项,设,则,所以有,解之得或即或,对应的点的坐标为或,即z所对应的点在第一象限或第三象限,故C错误;D选项,表示z到和两点的距离相等,故z的轨迹是线段AB的垂直平分线,故D正确.故选:AD.10.【答案】BCD【解析】设正实数、满足.对于A选项,可得,当且仅当时取得等号,故A错误;对于B选项,当且仅当时取得等号成立,故B正确;对于C选项,当且仅当时取得等号,故C正确;对于D选项,而,当且仅当时取得等号,故D正确,故选:BCD.11.【答案】ABC【解析】函数的定义域为R,且与都为奇函数,所以函数是一个周期为2的周期函数,故B正确;所以为奇函数、故A正确;所以为奇函数,故C正确;所以为奇函数,故D错误;故选:ABC12.【答案】BCD【解析】将二十四等边体补形成正方体如下图对于A选项,正方体的体对角线平面EAB,而BF与RS是异面直线,不平行,故A错误;对于B选项,该二十四等边体的所有棱长为,则对应正方体的棱长为2,所以,故B正确;对于C选项,该二十四等边体的外接球的球心即为正方体的中心,到正方体六个表面的距离都为1,所以,即,故C正确;对于D选项,PN与平面EBFN所成角即PN与正方体前面的表面所成的角,为45,故D正确.故选:BCD第卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的横线上.)13.【答案】-10【解析】由题意知解得,所以.14.【答案】72或112【解析】设正四棱柱的底面边长为,高为,则,联立消可得,即,解得或,当或,当时,侧面积,当时,侧面积,故答案为:72或11215.【答案】【解析】不等式等价于,若对于任意的,总存在,使得成立,则当时,单调递减,所以,当时,先减再增,所以,所以有,解之得.16.【答案】【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a,其内切球的半径为r当球内切于正三棱柱时,球的半径r等于正三棱柱的底面正三角形的中心到对边的距离即,又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍,故正三棱柱的高为,球外接正三棱柱时,球的球心是正三棱柱高的中点,且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的中心,到顶点的距离,棱锥的高为。故正三棱锥外接球的半径满足,内切球与外接球表面积之比为.故答案为:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.【解析】由己知得:集合,集合(1)因为,所以,所以,即;(2),因为,所以或,所以或.18.【解析】(1)当时,当且仅当,即时等号成立,所以.(2)由题意得在上恒成立,即在上恒成立,所以在上恒成立,即在上恒成立,.设,则在上单调递减,在上单调递增,又,解得,所以实数m的取值范围.19.【解析】,即,(1)因为、是正实数,所以,当且仅当时等号成立,故的最小值为2.(2)因为,所以,则,当且仅当,时等号成立,故的最小值为25.(3)因为,所以当且仅当,时等号成立,故的最小值为.20.【解析】(1)证明:因为,是等腰直角三角形,所以,所以,所以,又因为是等腰直角三角形,所以,所以,因为,且,平面,所以平面;(2)解:如图,以点E为坐标原点,EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴,垂直于平面BEC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设.则,设平面ADE的法向量为由,得令,得平面ADE的一个法向量为,设平面ADF的法向量由,得令,得平面ADF的一个法向量为,因为二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为.21.【解析】(1)由,得,解得,所以,则;(2)由题意上,即,解得;(3),当且仅当,即时等号成立.所以采光效果最好时,窗户的面积为1平方米.22.【解析】(1)因为ABCD是直角梯形,所以.又因为,所以平面PAD,又因为平面ABCD,所以平面平面ABCD.(2)以A为坐标原点,分别以向量,的正方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,.则,所以,设平面的法向量,由即,令,得,设,由,得,所以,所以,设平面的法向量,由,得,令,得平面PAM的一个法向量为,设二面角的平面角为,则为锐角,所以,解之得或,因为,所以.
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