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重庆八中20202021学年度(下)半期考试高二年级数学试题命题:傅小利 刘洪涛审核:邱长江打印:傅小利校对:刘洪涛一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.已知集合,则集合的子集个数为( )A.1B.2C.3D.42.命题“,”的否定是( )A.,B.,C.,D.,3.已知随机变量服从正态分布,且,则( )A.0.1585B.0.1586C.0.1587D.0.15884.现有3名男医生3名女医生组成两个组,去支援两个山区,每组三人,女医生不能全在同一组,则不同的派遣方法有( )A.9B.18C.36D.545.设函数,则的( )A.极小值点为1,极大值点为B.极小值点为,极大值点为C.极小值点为,极大值点为D.极小值点为,极大值点为16.随机调查了相同数量的男、女学生,发现有的男生喜欢网络课程,有的女生不喜欢网络课程,且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关,则被调查的男、女学生总数量可能为( )附:,其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.100B.200C.300D.4007.对某贫困地区人均纯收入进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,现采取分层抽样的方法,从,这三个区间中随机抽取6人,再从6人中随机抽取3人,则这三人中恰有2人年人均纯收入位于的概率是( )A.B.C.D.8.已知,是椭圆的左右焦点,是椭圆上任意一点,过引的外角平分线的垂线,垂足为,则与短轴端点的最近距离为( )A.4B.3C.2D.1二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分9.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示,以下说法正确的是( )A.甲比乙的平均分低B.甲的方差小于乙的方差C.甲的中位数大于乙的中位数D.甲比乙的平均分高10.已知的二项展开式中二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )A.二项展开式中无常数项B.二项展开式中倒数第5项为C.二项展开式中各项系数之和为D.二项展开式中二项式系数最大的项为11.一盒中有8个不同的乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过,现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中记盒中已使用过的球的个数为,下列结论正确的是( )A.等于3的概率为B.的所有可能取值是3,4,5C.最有可能的取值是5D.的数学期望是12.双曲线(,)左支上一点关于原点的对称点为点,为其右焦点,若,设,且,则离心率的可能取值是( )A.B.C.2D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知复数,则|_14.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为,乙命中的概率为,且他们的结果互不影响,若命中目标的人数为,则_15.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点出发,每隔等可能地向左或向右移动一个单位,共移动6次,则质点回到原点的概率为_16.已知函数,若曲线与的公切线与曲线切于点,则_四、解答题:共70分解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分)设的内角,的对边分别为,其中,已知()求角的大小;()在,这三个条件中任选一个_,若这样的三角形存在,求三角形的周长;若该三角形不存在,请说明理由18.(12分)为迎接2022年北京冬奥会,某滑雪场开展主题为“心往北京,滑向2022”的滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时()求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;()设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望19.(12分)如图,已知直三棱柱中,是棱上的动点,是的中点,(I)当是棱的中点时,求证:平面;()在棱上是否存在点,使得二面角的大小是?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由20.(12分)为了研究黏虫孵化的平均温度(单位:)与孵化天数之间的关系,重庆八中高2022级某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据:组号123456平均温度15.316.817.41819.521孵化天数16.714.813.913.58.46.2他们分别用两种模型,分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图: 模型模型经计算得,()根据残差图,比较模型,的拟合效果,应选择哪个模型?(给出判断即可,不必说明理由)()残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据,需要剔除,剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程(系数精确到0.1)参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,21.(2分)已知椭圆的离心率为,其短轴长为,设直线,过椭圆右焦点的直线(不与轴重合)与椭圆相交于,两点,过点作,垂足为(I)求椭圆的标准方程;()求证:直线过定点,并求出定点的坐标22.(12分)已知函数,()证明:;()若时,恒成立,求实数的取值范围;()求的最小值重庆八中20202021学年度(下)半期考试高二年级数学试题参考答案一、选择题题号123456789101112答案DDCBABADABCDABDCD二、填空题题号13141516答案1508.解:是焦点为、的椭圆上一点,的外角平分线,设的延长线交的延长线于点,由题意知是的中位线,点的轨迹是以为圆心,以5为半径的圆,当点与轴重合时,与短轴端点取最近距离,故选:D12.解:设双曲线的左焦点为,则,根据双曲线的对称性可得四边形为矩形,所以,因为,所以,则,即,因为,则,所以,则,所以,故选:CD16.解:设公切线与切于,由,则曲线在处的切线方程为,即,曲线在处的切线方程为,得,故答案为:0三、解答题17.解:()因为,所以,又因为,所以,即,又因为,所以()由余弦定理得,即,若选:因为,所以,所以,与矛盾,所以满足条件的三角形不存在若选:因为,所以,由,得,所以的周长若选:因为,又,所以,所以,所以的周长18.解:()甲、乙两人所付费用相同即为0,40,80元都付0元的概率为,都付40元的概率为,都付80元的概率为,故所付费用相同的概率为()由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和的可能取值为0,40,80,120,160,的分布列为:04080120160数学期望19.解:()取中点,连接、中,、分别是、的中点,且,又矩形中,且,且,可得四边形是平行四边形,平面,平面,平面()以、为、轴,建立如图空间直角坐标系,可得,设,得,设平面的法向量为则有,解之并取,得平面的法向量为,当二面角的大小是时,有,解之得因此,在棱上存在点,当时,二面角的大小是20.解:()根据残差图分析,得出模型残差波动小,应该选择模型;()剔除异常数据,即组号为4的数据,剩下数据的平均数为,;,;,所以关于的线性回归方程为:19.解:()由题意可得,解得,故椭圆的方程为()证明:由题得,设直线,设,联立方程,得,所以有,且,因为,所以直线的方程为,由,得,将代入,则直线的方程为,故直线过定点,即定点为22.(),证明,即证明,即证明设,时,单调递增;时,单调递减,即成立()时,即,由()知,当时,成立当时,显然时不成立,综上,()设,在上单调递增,存在使,且时即,递减;时即,递增,在是单调递增,
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