专题专题 ? ?新函数新函数问题问题探究探究? ?教学设计教学设计 学科学科 数学 教师教师 授课班级授课班级 时间时间 教学内容分析教学内容分析 近年来北京中考第 26 题均考察了新函数探究问题，这类考题是通过学习过的知识方法，或从提供的材料中， 阅读理解其中反映的思想方法，将其概括抽象成数学模型去解决同类的另一个相关命题。通过类比学过的函 数图象与性质的研究方法，探究未知函数的图象和性质。要求学生在较短的时间内，读懂题目，依题意进展 分析、比拟、综合、抽象和概括，运用类比等数学方法解决问题。 学情分析学情分析 学生已经系统的学习了函数的知识，对函数有了一定的认识，学习了一次函数、二次函数、反比例函 数，并且经历了函数探究的一般步骤，会用描点法画出函数和自变量具有对应关系的函数图象，对于函数的 图象与性质也有一定的认识。 2 班的学生根底较好，经历了一次函数、二次函数、反比例函数的探究过程，有一定的类比思想和知识 迁移能力，但是利用已有知识方法解决新问题的能力较薄弱。思维比拟活泼，乐于思考，乐于挑战，乐于合 作学习、交流、分享。 教学目标教学目标 1、 了解研究函数的一般步骤，会求函数自变量的取值范围； 2、 能利用描点法画出函数的图象，根据图象得出函数的性质； 3、 经历函数探究的过程，运用类比方法、数形结合等思想解决问题，提升知识迁移能力； 4、 在探究新函数的过程中，增强信心和成就感。 教学重点教学重点 理解研究函数的方法。 教学难点教学难点 研究函数的方法的应用。 教学用品教学用品 多媒体、学案 教学特色教学特色 点阵笔技术和电子白板的应用 教学活动教学活动 活动活动 活动内容活动内容 活动设计意图活动设计意图 一一 复习旧知复习旧知 梳理函数研究的一般步骤梳理函数研究的一般步骤 二二 例题讲解例题讲解 利用函数研究过程解决新函数问题利用函数研究过程解决新函数问题 三三 稳固练习稳固练习 强化知识方法的应用强化知识方法的应用 四四 回忆反思回忆反思 梳理本节课的学习内容梳理本节课的学习内容 教学过程教学过程 教学环节教学环节 教学活动教学活动 师生活动师生活动 设计意图设计意图 复习旧知 7 min 由函数引入，首先回忆：什么是函数？强调单值对应。函 数的三种表示方法：图象法，列表法，解析法。然后教师 带着学生一起梳理学习过的几类函数：一次函数，二次函 数，反比例函数，以及研究函数的一般步骤。 回忆我们研究函数的一般回忆我们研究函数的一般过程过程： 1.函数解析式及自变量取值范围 2.列表 3.画函数图象 4.通过观察图象得出函数的性质 5.应用函数的性质解决问题 其中函数的性质主要其中函数的性质主要包含两局部包含两局部： 形：形状、位置、趋势 1.图象由几局部组成 2.对称性 3.经过的象限 4.与坐标轴的交点 数：增减性、最值 学生在教师的带 着下， 回忆一次函 数、二次函数、反 比例函数的学习 过程， 总结归纳出 学习函数的一般 步骤和函数的性 质。 帮助学生回 忆学习过的 函数知识， 梳理函数研 究的一般过 程。 例题讲解 例 12021 昌平期末有这样一个问题：探究函数 2-2 = 2 x x y的图象与性质 小文根据学习函数的经历，对函数 2-2 = 2 x x y 的图 象与性质进展了探究 下面是小文的探究过程，请补充完整： 学生按照刚刚梳 理过的函数知识 以及研究函数的 方法步骤， 将一道 题划分为几个局 部， 通过类比的方 法解决问题。 利用学习过 的知识，解 决新函数问 题，明确方 法，落实操 作。 8min 1函数 2-2 = 2 x x y 的自变量 x 的取值范围 是 ； 2下表是 y 与 x 的几组对应值 那么 m 的值为 ； 3如下列图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上 表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数 的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的性质一条即 可 ： 教师在学生做题 的过程中指导、 反 应。 在做题的过程中 让学生思考： 1.怎样确定自变 量的取值范围？ 2.自变量对图象 的影响是什么？ 3.你是怎样画出 函数图象的？ 4.你是怎么得到 x 321 0 2 1 10 7 10 13 2 3 23 4 y 9 8 2 3 1 4 0 1 4 49 60 169 604 9 2m 3 8 函数的性质的？ 还能得到什么性 质？ 稳固练习 20min 1.2021 丰台期末有这样一个问题：探究函数 的图象与性质小美根据学习函数的经历， 对函数的图象与性质进展了探究下面是小 美的探究过程，请补充完整： 1函数的自变量 x 的取值范围是 _； 2下表是 y 与 x 的几组对应值 求 m 的值； 3如下列图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以 上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点， 画出该函 数的图象； 学生先独立完成 前两道练习题,然 后小组交流、分 享，最后教师点 评。 处理函数问题首 先要考虑自变量 的取值范围， 这是 为什么？ 在第二象限存在 图象上的点吗？ 强调自变量对函 数图象的影响。 让学生关注到表 格中在第一列数 据的左侧没有， 而在表格的最右 侧有， 为什么？ 谁影响了列表时 的取值情况？ 应用方法的 强化练习， 并且让学生 之间交流分 享，增强学 生的自信心 和成就感。 x x y 2+ = x x y 2+ = x x y 2+ = x-2 2 3 -1 2 1 3 1 2 1 1234 y0 3 2 -1621103m 3 5 4 6 4结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 2.2021 延庆期末某班“数学兴趣小组对函数 y=x22|x|的图象和性质进展了探究，探究过程如下 1自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组 对应值如下： 其中，m= 2根据表中数据，在如下图的平面直角坐标系中描 点，并画出了函数图象的一局部，请你画出该函数图象的 另一局部 3观察函数图象，写出一条性质 4进一步探究函数图象发现： 方程 x22|x|=0 有 个实数根； 关于 x 的方程 x22|x|=a 有 4 个实数根时， a 的 取值范围是 同上面一样请同 学们交流如何结 合图象得到函数 的性质。 通过例题和两道 练习让学生明白 不管是以解析式、 列表还是图象哪 种表示方法表示 同一个函数， 它们 表达的对应关系 是一致的。 通过表达式 了解变量之 间的对应关 系以及自变 量和因变量 的取值范 围.通过列 表格求出对 应的 x，y x3 2 5 21012 2 5 3 y3 4 5 m1010 4 5 3 练习 2 第4问 出现了对函数性 质的应用， 对学生 能力要求更高， 让 学生感知函数与 方程、 不等式之间 的联系， 体会数形 结合的思想。 教学生解决问题 的方法， 学会借用 工具， 用运动的方 法抓住分界点。 学 会用函数的观点 看方程。 的值，再通 过列表中的 数值在平面 直角坐标系 中描点，然 后画出函数 图象，直观 地研究函数 的性质。 拓展提高 5min (2021海淀一模)有这样一个问题：探究函数 y=(x1)(x 2)(x3)的图象与性质. 小东对函数 y=(x1)(x2)(x3)的图象与性质进展了 探究. 下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)函数y=(x1)(x2)(x3)的自变量x的取值范围是全 体实数； (2)下表是 y 与 x 的几组对应值. m= ； 假设 M(7，720)，N(n，720)为该函数图象上的两 点，那么 n= ； (3)在平面直角坐标系 xOy 中，A( AA yx ,)，B( AB yx,) 为该函数图象上的两点， 且A为2x3范围内的最低点， A 点的位置如图 2-3-5 所示. 标出点 B 的位置； 画出函数 y=(x1)(x2)(x3)(0 x4)的图象. 学有余力的学生 完成练习 3 作为 拓展提升。 第问不能用代 入求值来解， 需要 学生通过表格观 察出图象具有对 称性， 利用性质求 解， 考察了学生的 观察能力。 x 2 1 0123456 ym24600062460 图 2-3-5 回忆反思 3min 1、 什么是函数？函数的表示方法有哪些？ 2、 研究函数的一般步骤是什么？ 3、 函数的性质有哪些？ 师生共同回忆本 节课所学内容。 通过反思以 上问题，学 生对本节课 主要内容进 展总结。 板书 专题 新函数探究 一、函数的表示方法 二、研究函数的一般过程： 1.函数解析式及自变量取值范围 2.列表 3.画函数图象 4.通过观察图象得到函数的性质 5.应用函数的性质解决问题 形：形状、位置、趋势 数：增减性、最值 图象法 列表法