绝密启用前2021届“超级全能生”高三全国卷地区3月联考试题（甲卷）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1已知集合，若，则实数的取值范围是（）ABCD答案：A先解出集合，由可求得的取值范围.解：集合，因为，所以，故选：A.2为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在内的有1400人，在内有800人，则频率分布直方图中的值为（）A0.008B0.08C0.006D0.06答案：A根据频率分布直方图，及年龄在内的有1400人，可知总人数，进而确定答案.解：假设总人数为，则，解得，解得，故选：A.3已知锐角满足，则的值为（）ABCD答案：D根据同角的平方关系以及二倍角公式或者由二倍角公式转化为二次齐次式.解：解法一：由可知.又，.故选：D.解法二：由可知，即，则.故选：D.4已知（为虚数单位），则（）ABC2D答案：B令复数，代入已知，利用复数相等的条件即可求出，进而得出所求.解：由可得，令复数（），则，解得，即复数，.故选：B.5已知函数，则函数的图象大致为（）ABCD答案：D根据定义可判断函数为奇函数，又由可得答案.解：由题意可知，函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，故排除选项A和B；又，故排除选项C；故选：D.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项6一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2个球，则2个球的编号和不小于7的概率为（）ABCD答案：C首先列表表示所有的两个小球的编号的和，再计算满足条件的基本事件的个数，根据古典概型公式求概率.解：记两个小球的编号分别为，则得到如表所示的表格：由表格可知，共30个基本事件，其中“从中不放回地抽取2个球，2个球的编号和不小于7”为事件，共18个基本事件，则，故选:C.7如图，已知，分别是半径为2的圆上的两点，且，为劣弧上一个异于，的一点，过点分别作，垂足分别为，则的长为（）ABC2D答案：B因为，可知，MN为四边形PMCN的外接圆的一条弦，且外接圆直径为PC=2，故联想到正弦定理来解题.解：，四点在以为直径的圆上.由题意可知，外接圆的直径为2，则由正弦定理可得.故选：B抓住题目图形的特点，结合正弦定理来解题，要求对知识要有一定的熟练度.8如图所示的程序输出的结果为，则判断框中应填（）ABCD答案：A按照程序框图运行程序，利用裂项相消法求和，可得第次循环，再代入解方程即可判断；解：解：输入，则第1次循环，继续循环；第2次循环，继续循环；第3次循环，继续循环，.由此推出第次循环.令，解得，此时，满足条件，退出循环，所以判断框中应填“”，故选：A.9已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是该椭圆上不同于，的一点，若直线的斜率的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（）ABCD答案：B设点，求出，由把用表示，从而上的范围得的取值范围解：设点，则，.又，故选：B.结论点睛：本题考查直线与椭圆位置关系。在椭圆中，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上不同于的点，则（斜率存在时）10已知函数在点处的切线与函数的图象相切于点，则点的坐标为（）ABCD答案：C根据点在函数的图象上，可得，再由导数的几何意义可得函数的切线的方程，再设，利用导数的几何意义列出方程即可求解.解：由题意可知，点在函数的图象上，函数在点处的切线方程为.，则.令点，则，.点在直线上，解得，点，故选：C.导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.11在中，角，的对边分别为，若，且，则的取值范围是（）ABCD答案：B由题意可得，根据余弦定理可得，再由余弦定理以及函数的单调性即可求解.解：由及得，由余弦定理可得解得，即，又由余弦定理可知.，令，易知函数在上单调递减，在上单调递增，则，故选：B.12已知函数关于的方程（）有8个不同的实数根，则的取值范围是（）ABCD答案：C根据分段函数得解析式，利用导数研究函数的性质，作出函数的图象，将方程有8个不同的实数根转化为方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根，进而得到的取值范围.解：当时，.令，则.令，则，故当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；当时，易知函数在上单调递减，在上单调递增，在单调递减.又，故可画出函数的大致图象如图所示，令，则已知方程可化为.观察图象可知，当时，只有2个交点；当时有3个交点；当时，有4个交点；当时有5个交点；当时，有6个交点.要想满足题意，则只需使得方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根.方程的两根之积为1，令，由题意只需解得，故选：C.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点二、填空题13已知向量，则_.答案：直接利用坐标运算求出，再求模.解：，.故答案为：.14设变量，满足约束条件则的最大值是_.答案：3画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义可以看作是点与可行域内任意一点所连直线的斜率，即可求解解：如图示：作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，易知，.因为，令，则目标函数可以看作是点与可行域内任意一点所连直线的斜率，所以的最大值为3.故答案为：3简单线性规划问题的解题步骤：(1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；(3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值；(4)下结论15已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点，若为的重心，则该双曲线的离心率为_.答案：先由为的重心，求出P，代入得到关于abc的齐次式，求出离心率.解：设，则由重心坐标公式可得解得点的坐标为.点在曲线上，.（），解得或（舍），.故答案为：求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率16如图，在三棱锥中，若该三棱锥的侧面积是底面积的倍，则该三被锥外接球的表面积为_.答案：取边的中点，外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为，求出斜高，从而得侧面积和底面积，由已知求得，确定在延长线上，利用勾股定理求得外接球半径可得球表面积解：如图，取边的中点，外接圆的圆心为，三棱锥外接球球心为.如图所示，因为且点为的中点，所以，由此可知该三棱锥的侧面积，底面的面积为，所以，解得（舍负）.设三棱锥外接球半径为，.因为，所以点在底面上的射影为点.因为，故三棱锥外接球球心在直线的延长线上，为外接圆的半径，所以在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，解得，所以外接球的表面积.故答案为：结论点睛：本题考查正三棱锥的外接球问题，解题关键是确定于球心位置，求得球半径三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上这是我们寻找外接球球心的根据三、解答题17数列是公差不为0的等差数列，满足，数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)令，求的值.答案：（），；（）.(1)设等差数列的公差为，由已知条件列出关于的方程，解方程求出，进而求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式；(2)利用错位相减法即可求解.解：解：(1)设数列的公差为.由题意得，解得或0（舍），.(2)由(1)知，两式相减得，.(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法18如图，在底面为菱形的四棱柱中，在底面内的射影为线段上一点.（）求的长；（）求三棱锥的体积.答案：（）；（）.（）由已知条件得出点在底面上的射影是的外心即可求解；（）利用等体积法即可得出所求三棱锥的体积.解：解：（），为等边三角形，.又，点在底面上的射影是等边的外心，.（）由（）可知底面，且底面，.又，.19某企业为改变工作作风，树立企业形象，开展了为期半年的行风整治行动，现需要对整顿之后的情况进行问卷调查，随机从收回的有效问卷中抽查100份，根据这100份问卷的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），样本数据分组区间为，.（1）估计评分的平均数和中位数（结果保留四位有效数字）；（2）用分层抽样从和抽取5人，然后从这5人中选取3人进行进一步调查，求这3人中只有1人来自的概率.答案：（1）77.00，77.14；（2）.（1）先求出每个小矩形面积，即可求解平均数和中位数；（2）根据分层抽样的方法先确定每一部分抽取的人数，再把5人中抽取三人的情况列出，并确定符合条件的情况，即可求得概率.解：解：（1）由题意得频率分布直方图中从左至右小矩形面积依次为0.05，0.20，0.35，0.30，0.10，因此平均数为中位数为（2）由（1）可知和的概率之比为，所以按照分层抽样的方法应从中抽取2人，中抽取3人.不妨设从中抽取的2人分别为，从中抽取的3人分别为1，2，3，则从这5人中任选3人有，123，共10种情况，其中只有1人来自，有，共6种情况，记“这3人中只有1人来自”为事件，则.(1)从频率分布直方图可以估计出的几个数据：众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；平均数：频率