概率论,南京航空航天大学,2,概率论的起源与发展,起源： 17世纪中叶法国贵族梅勒,帕斯卡(1623-1662),费马(1601-1665),荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年,这一时期称为组合概率阶段,成为数学分支：,瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705),大数定理(LLN),1713年,3,棣莫佛(1667-1754): ,中心极限定理(CLT)(1901年), 乘法原理，正态分布等。,蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题,几何概率,拉普拉斯(1749-1827)：1812概率分析理论,概率的古典定义,泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等.,19世纪后期，极限理论成为概率研究的热点问题， 其中切比雪夫及其学生马尔可夫为代表的圣彼得堡学派做出巨大贡献。,法国人 贝特朗于1899年提出了著名的贝特朗悖论,4,公理化阶段： 俄国人伯恩斯坦，奥地利人冯-米西斯(1883-1953)对概率论的严格化做了初步的尝试,1905年测度论诞生-波雷尔(1881-1956)，勒贝格(1875-1941),1933年，柯尔莫哥洛夫(1903-1987),现代公理化体系,5,伊藤清(1915-2008): 1942-1944年定义了对布朗运动的随机积分，1987年获得沃尔夫奖,Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在 政治经济学杂志(Journal of Political Economy)发表， 1997年获诺贝尔经济学奖 彭实戈(1947-): 1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。 许宝禄(1910-1970)，陈希孺(1934-2005)，严加安(1941-) 马志明(1948-)，陈木法 (1946-),莱维(1886-1971): 独立增量过程； 辛钦(1894-1959)： 平稳过程 杜布(1910-2004)，Meyer：鞅论,当代的发展：随机过程与随机分析-概率主流,目 录,概率论的基本概念 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性 随机变量及其分布 随机变量的分布函数 随机变量的函数的分布 多维随机变量及其分布 两个r.v.的函数的分布 随机变量的数字特征 几种重要r.v.的数学期望及方差 矩、协方差矩阵 大数定律及中心极限定理,1. 确定性现象和不确定性现象.,2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性.,第一章 概率论的基本概念,前 言,3. 概率与数理统计的广泛应用.,1.随机试验,举例: E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况. E2: 将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况. E3: 将一枚硬币抛两次，观察出现正面的次数.,随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能 事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪 个结果。,2. 样本空间与随机事件,(一) 样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，记为S. 样本空间的元素称为样本点，用e表示.,样本空间,1.离散样本空间:样本点为有限多个或 可列多个.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.,(二) 随机事件,样本空间S的子集称为随机事件，简 称为事件。,事件发生:在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生。,E2:将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.,基本事件:由一个样本点组成的单点集.,必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,不可能事件：空集不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。,（三）事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,A,B,S,若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.,B,A,S,2.和事件:,事件A B=x|x A 且 x B 称为A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.,类似地，事件 为可列个事件A1，A2， 的积事件.,B,A,S,3.积事件：,事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差.当且仅当A发生, B不发生时 事件A-B发生.,显然: A-A=, A- =A, A-S= ,A,B,s,4.差事件:,基本事件是两两互不相容的,即样本点是 互不相容的,事件A与B-A是互不相容的.,A,B,5.事件的互不相容(互斥):,6. 对立事件(逆事件)：,S,A,B,(1)若A, B二事件互为对立事件, 则A,B必互不相容, 但反之不真.,(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,分配律：,对偶律:,3. 频率与概率,(一) 频率 1. 在相同的条件下,共进行了n次试验,事 件A发生的次数记为nA, 称为A的频数, nA/n 称为事件A发生的频率,记为fn(A).,频率的特性: 波动性和稳定性.,说明(1) 波动性: 若试验次数n相同, 不同时候试验 其频率不同,当n较小时, fn(A)随机波动的幅度较大.,(2) 稳定性:当n增大时，频率fn(A)的波动越来 越小，呈现出一定的稳定性。,1.定义:设E是随机试验, S是样本空间. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件 A的概率,如果集合函数P(.)满足下列条件:,(1) 对任一事件A,有P(A)0; (非负性）,(2) P(S)=1;（规范性),(3)设A1,A2,是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+ (可列可加性),(二)概率,由概率定义可以推出概率的一些重要性质：,一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).,4. 等可能概型(古典概型),等可能概型的两个特点:,(1) 样本空间中的元素只有有限个;,(2) 每个基本事件发生的可能性相同.,计算公式:,例1. 将一枚硬币抛掷三次，A表示“恰有一次出现正面” B表示“至少有一次出现正面”, 求 P(A), P(B),抽样问题 一只口袋装有6只球，其中4只白球、2只红 球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑 两种取球方式:(a)第一次取一只球，观察其颜色后 放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做 放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次 从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放 回抽样。试分别就上面两种情况，求(1)取到的两 只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同 的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的 概率。,生日问题,假定每个人的生日在一年365天的任一天 都等可能,随机选取n(小于365)人,他们至少 有两个人生日相同的概率？,小概率事件问题 某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是 在周二和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有 规定的?,实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实 际上是不可能发生的”.,5. 条件概率,(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率问题.,例1. 将一枚硬币掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设 A“至少有一次正面”, B“两次掷出同一面” 求： A发生的条件下B发生的概率.,在古典概型中，若P(A)0,1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)0, 称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件,即,此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件概率化为无 条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。,例1.,3只一等品,1只二等品,任取一只,不放回,再任取一只,A第一次取到的是 一等品,B第二次取到的是一等品, 求P(B|A).,(二) 乘法定理:,推广: P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(C|AB) P(B|A) P(A).,一般, 设A1, A2, ,An是n个事件(n2), P(A1A2 .An-1)0, 则有乘法公式:,P(A1A2An) = P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2) P(A1)P(A2|A1),r只红球,t只白球,例2.,每次任取一只球观察颜色 后放回,再加入a只同色球,在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,例3. 透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次 落下未打破, 第二次落下打破的概率为0.7, 若前 两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9, 试求:透镜落下三次而未打破的概率.,(三) 全概率公式和贝叶斯公式:,1. 样本空间的划分,S,B1,B2,B3,.,Bn,(1) 若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分, 则每次试验中, 事件B1, B2, , Bn 中必有一 个且仅有一个发生.,2. 全概率公式:,A,B1,B2,B3,Bn,S,.,贝叶斯公式:,例4. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下: 元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概 率分别是多少?,例5 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好 时, 产品的合格率为98%,而当机器发生某一故障时, 其合格率为55%, 每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为95%, 试求已知某日早上第一件产品是 合格品时, 机器调整得良好的概率是多少?,1. 定义: 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与事件B是相互独立的事件。,由定义可知:,不可能事件、必然事件与任何事件都是相互独立的。,1.6 独立性,45,3. 定理: 设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立的充要条件是: P(B|A)=P(B).,46,相关结论:,47,2. 定义: 设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立。,例1. 一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性。如下图，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式连接。设第i个元件的可靠性为 ，试求系统的可靠性。,1,2,3,4,例2. 100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试 (相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收 这批乐器,测试情况如下: 经测试认为音色纯 认为音色不纯 乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯 0.05 0.95,若100件乐器中恰有4件音色不纯,试问: 这批乐器被接收的概率是多少?,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,1. 定义: 设随机试验E的样本空间是S=e，若对于 每一个eS, 有一个实数X(e)与之对应, 即X(e)是定 义在S上的单值实函数，称为随机变量。 （random variable, 简记为r.v.),e,S,X(e),Rx,有了随机变量X, 以前的各种随机事件均可用X的 变化范围来表示:如例1中:,A=“正面朝上”,=X=1,C=“正面朝上或背面朝上”,=X=1或X=0=S,反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件.,0X2,=“正面朝上”.,X0,=,-5X5,=S.,2. 分类：,(2) 可用随机变量X描述事件。,随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值, 但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布。,(1) 离散型随机变量;,(2) 连续型随机变量。,注: (1) 任何随机试验都可以找到相应的随机变量，,2.2 离散型随机变量的概率分布,1. 定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个