20192019最最新人教新人教B B版版 第五章数列 5.1数列基础 . 数列的概念 练习 .解析 . .解析 () . (). () . .解析 ().(). .解析因为 () () 即 所以数列是递增数列. .解析() 证明: () 即 即 是递增数列. 练习 .解析 ()() . () () . .解析 () . ()() () . .解析 若 是中的项则存在正 整数 使得 解得 或 (舍)所以 是中的项 是第 项. .解析 () . .解析 ()(答案不唯一). ()(答案不唯一). . 数列中的递推 练习 .解析 () . () . () . .解析() . (). .解析 . 前 项和 . .解析 . 前 项和 前 项和 . .解析 ()() 由得 () () 当 时 满足该式 的通项公式为 . 练习 .解析 () . 前 项和 前 项和 . () . 前 项和 前 项和 . .解析 不一定.也可能是常数列 . .解析 () ()() 由得 (). 当 时 满足该式 . .解析 . 递推关系为 () . 习题 5-1A .解析(). . . (). .解析() 前 项和 . () 前 项和 . () 前 项和 . .解析() () () . () () () . () . .解析 . . .解析 (). () . ()() . .解析 (). () . (). () . .解析 第 个等式: 第 个等式: 归纳第 个等式为 () () (). 习题 5-1B .解析 从左到右依次填. .解析 (). ()若 是数列中的项则存在 正整数 使得 ()解得 ( 舍去)即 故 是数列中的第 项.若 是数 列中的项则存在正整数 使得 ()计算知该方程无解故 不是中的项. .解析由于数列中的项对应函数 ()的图像上的一群孤立的点因此可 由函数图像来判断数列中各项的大小 变化.函数 的大致图 像如图所示. 显然 最小最大. .解析 ()证明:由已知得 ( ) . ()由 得 则 ()(). ()() ()()即 数列是递减数列. .解析 且 为奇数 且 为偶数. .解析 () 得 () 当 时 不满足上式 . 5.2等差数列 . 等差数列 练习 .解析 ()由 ()知 () . 又 . () () (). .解析 ().(). .解析 ()记该等差数列为则其 通项公式为 . ()记该等差数列为则其通项公 式为 . .解析 记该等差数列为则其通项 公式为 . 令 得 故 不是等差数列中的项. 令 得 故 是等 差数列中的项. .解析 () .() . 练习 .解析 由题意可得等差数列的通 项公式为 ()(.) . 令 .又 . 即此等差数列从第 项开 始 出 现 负数. .证明 若是等差数列则 () 整理得 令 成立. 若 则 ()( ) 得: ( 为常数) 是等差数列. 综合可知原命题得证. .证明 是等差数列 () ()() () ()() () 又 . .解析 设中间 个皮带轮的直径分别 为() () 由等差数列的性质知:得 由 () 得: 由 () 得: 故中间 个皮带轮的直径分别为 . .解析 ()是.首项是 公差为 . ()是.首项是 公差为 . ()是.首项是 公差为 . ()是.证明:易得该无穷等差数列 的通项公式为 ().记 则 易知 为一个常 数故为等差数列其首项是 ( )公差为 . . 等差数列的前 项和 练习 .解析 () . () () . .解析 由等差数列的性质知: 由得: 又 () 故 . .解析 ()原式() . ()原式() (). .解析记该等差数列为则 则 ()( )令 () 解得 所以 () . .解析记该等差数列为则 令 () () 解得 或 (舍去)即前 项 的和为. 练习 .解析记该等差数列为则 .设其前 项和最大 则有 即 () 得 .又 所以 即前 项 的和最大. .解析 在两位数的正整数中除以 余 的数有 共 个数. 它们的和为() . .解析() 原式 ()() () . ()原式()() () (). .解析 凸 边形的内角和是() . () () 解得 或 容易判断 时不符合题意 故凸 边形的边数为 . .解析 设 年供应的土地公顷数为 由等差数列前 项和公式知: 解得 . 这个数列为 . 习题 5-2A .解析 由题知 递推公式为 . .解析 () . 教材习题答案 () 故 . () . .解析 在 与 之间插入 个数则 公差 所以插入的 个数 依次为 . .解析集合 的元素按从小到大的顺序构成等 差数列 易知项数 () 即这些元素的和为 . .解析 () . () () . 习题 5-2B .解析 设三角形三个内角的度数分别 为 则 即三个内角中必有一个内角 大小为 其余两个内角的大小不能 确定. .解析 故 () . .解析 ( ) . 由得 故此等差数列的前 项和最小. .解析 由等差数列的性质知 . .解析() () () () () () () . ()设 是 中的某一个整数则 () ()() () ()() ()() ( ) () . 又 所以当 或 时 () 取得最小值 () () 即最小值为 . 当 ()时 ()为增函数即 ()() . 综上当 为 或 时 ()取最小 值最小值为 . .解析此题可理解为等差数列由题 意 又 () 所以 即第一个孩子分得 斤棉花. 故每个孩子分得的棉花斤数依次为 . 5.3等比数列 . 等比数列 练习 .解析 ()否.()是.()否.()是. .解析 ().() . (). .() . .解析 ().(). .解析 ().() .() .(). (). .解析() 年.按照每 个月翻一番总共翻 番设 . () . 或 设 首项为 公比为 则 . (常数) 数列 为等差数列其首项为 公差为 . .解析 此人欠银行的钱数 (.) . 元. 习题 5-3B .解析() . .() . ()由题易知 则 () 得 或 . 当 时.当 时. () ( ) () . () .故 () () () . .解析 当 时不是等比数列此时 不满足定义. 当 时是等比数列 (常 数)满足定义 它是等比数列. .解析 是.由题知 满 足等比数列的定义故新数列是等比 数列. .解析 除第 项外有可能出现序号与 教材习题答案 数值都相等的项. 设等比数列的首项为 公比为 等比数列首项为 公比为 则 . . 假设除第 项外序号与数值相等的项 为第 项即 () 则 则 由知 .当 时 与假设矛盾. 当 时 ()则 ()此时可能出现序号与数 值都相等的项. 故除第 项外有可能出现序号与数值 都相等的项. .解析不一定.还要看首项 若 ) 则()()()() . 由 () 得 () 最小的 份为 个. .解析 依题意可知经过 轮后国内 消费总金额为 () () () (亿元). .解析 投资项目到第 年年末获得的 总收益为 万元. 若年利率为 则投资者到第 年年 末的所有收益为 () () () ()() () (万元). 投资者不应该投资 该项目. .解析 该企业未来利润的现值之和为 ()() () () () ( ) . 当 时 () . 不同意该企业管理人的提议. .解析 若买股票每股获利. .(元) 每股获纯利 . (元) 全部获利 . .(元). 若全部存入银行到期本利和为 . (.) . 元. 纯获利 . . . 全部存入银行较好. .解析 ()第 年投入为 万元第 年投入为 ()万元 第 年投入为 () 万元所 以 年内的总投入 () () . 第 年旅游业收入为 万元第 年 旅游业收入为 () 万元 第 年旅游业收入为 () () 万元 年内的旅游业总收入 () () 万元. ()设至少经过 年旅游业的总收入 就能超过总投入 即 即 () () 化简得 () () 设 () 则不等式等价为 解得 (舍去). 即 () () ( ) 当 时不等式也成立. 由数学归纳法基本原理知原不等式 成立. 习题 5-5B .解析 ()不成立. ()一定. .解析 . 猜测这个数列的通项公式为 . 证明:当 时通项公式成立. 假设当 时通项公式成立即 . 教材习题答案 当 时 当 时通项公式也成立. 由数学归纳法基本原理知通项公式 成立. .解析 易得 . . . . 猜想 . 证明:当 时 猜想 成立. 假设当 ()时猜想成 立即 ()() 成立. 那么当 时 ()() ()() ()() () 当 时猜想成立. 由数学归纳法基本原理知猜想成立. .解析 易得 . . . . 猜想: . 证明:()当 时 猜 想成立. ()假设 ()时猜想成 立即 成立. 那么当 时 ()() ()() (). 当 时等式成立. 由数学归纳法基本原理知猜想成立. .证明 当 时 能被 整除. 假设当 ()时命题 成立即 能被 整除. 则当 时() ( ). 和 都能被 整除 当 时命题也成立. 对于任意 都能被 整除. .解析 猜想: ( ) . 证明:当 时 等式成立. 假设当 ()时 () 成立. 则当 时 () ( ) () () () ( ) () () () ()() (). 当 时等式也成立. 综上可知对等式恒成立. .解析 由题知 . 猜想: () . 又 又 .当 时也满足该式. . 证明:当 时 猜想 成立. 假设当 () 时猜想成 立即 当 时 当 时猜想也成立. 由数学归纳法基本原理知猜想成立. 复习题 组 .解析 ()一个通项公式为 . ()一个通项公式为 . () 一 个 通 项 公 式 为 () . () 一个通项公式为 . .解析 . .解析 . 则 . . . . . . . . .证明 数列为等差 数列且 . ( ) () . 又( ) () ( ) . .解析 (). () 即 即 () () () . .解析由题知: 且 整理得: 即 又 是以 为首项 为公比的等比 数列 . . .解析 结合二十四节气表可知从冬至 到夏至日影长度依次减小各节气时 的日影长度构成一个等差 数列 即 从夏至再回到冬至日影长度依 次增大各节气时的日影长度也构成一 个等差数列即 . 由题知从冬至到夏至时 则的通项公式 () 即 . 故 . 由题意可知从夏至再回到冬至时各 节气时的日影长度同上. .证明 当 时左边 () 右边成立. 假设当 ()时 () ( ) 成立. 那么当 时 ()() ()() () ()() ()( ) ()()() ()() ()( ) . 当 时等式也成立. 由知对任意 等式成立. .解析 ( )( ) 即 . 猜想 证明如下: 当 时 等式成立. 假设当 时等式成立即 当 时 又 由得: 当 时等式也成立. 由数学归纳法基本原理知 猜想 正确. .证明 ()当 时 能被 整除 假设当 ( 且 )时 能被 整除 那么当 时 ( )( ). 能被 整除 也能被 整除 ( ) ( ) 能被 整除. 时命题也成立. 对于任意 都能被 整除. 组 .解析 为等差数列 成等差数列 ( ) 得:. .解析 为等比数列 成等比数列 ( ) ( )得: . .解析 ()成等差数列证明如下: 易得 为等差数列 得 得 ( ) 依次类推可知此数列为等差数列. ()不一定成等比数列证明如下: 易得 为等比数列 得 当 且 为偶数时 不一定是等比数列(如常数列 ) 当 或 为奇数时 是等比数列. .解析 存在如 () . .解析 . 猜想: . 证明: 即 整 理得: 又 是以 为首项 为公差的等 差数列. () . .解析 令 得: 即 又 且 . . .解析 时 时 时 时 时 时 时 得: 得: . . .解析 () () 得: () (). 当 时 不满足上式. () . .解析 () () () ( ) 得: () () 又当 时 满足上式 . .解析 () 是等比数列 () () 即 . () 由() 知 ( ) . 设