2021年江苏省新高考数学三轮冲刺专项突破专题07 空间向量与立体几何一、单项选择题1.（2021安徽马鞍山市高三一模（文）如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）ABCD2.（2021江苏高三专题）已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的半径为（ ）ABCD3.（2021江苏高三专题）已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，则该球的表面积为（ ）ABCD4.（2021江苏徐州市高三二模）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”.如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）ABCD15.（2021江苏盐城市高三一模）已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（ ）A2B3C4D56.（2021江苏高三专题）如图，在直三棱柱中，已知是边长为1的等边三角形，分别在侧面和侧面内运动（含边界），且满足直线与平面所成的角为30，点在平面上的射影在内（含边界）令直线与平面所成的角为，则的最大值为（ ）ABCD7.（2021江苏高三专题）已知直三棱柱的侧棱长为，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）ABCD8.（2021江苏高三专题），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ）平面；异面直线与所成的角为定值；在二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径先变小后变大；若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是ABCD二、多项选择题9.已知，是不同直线，是不同平面，且，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10.（2021江苏高三专题）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D，则与所成的角和与所成的角相等11.（2021江苏徐州市高三二模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）ABCD12.（2021江苏徐州市高三月考）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）ABF平面EABB该二十四等边体的体积为C该二十四等边体外接球的表面积为8DPN与平面EBFN所成角的正弦值为12.（2021江苏高三专题）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（ ）A斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米C若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米D此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米13.（2021江苏南通市高三期末）在棱长为2的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则（ ）A平面B过点，的截面的面积为C与的公垂线段的长为D与平面所成角的大小小于二面角的大小14.（2021江苏高三其他模拟）如图，在长方体中，E、F分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有（ ）AB三棱锥的体积为C若P是棱上一点，且，则E、C、P、F四点共面D平面截该长方体所得的截面为五边形15.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是 A直线PB1平面BC1DB三棱锥PBC1D的体积为C三棱锥D1BC1D外接球的表面积为D直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为16.如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）A. 与所成角的余弦值为B. 过三点、的正方体的截面面积为C. 四面体的内切球的表面积为D. 正方体中，点在底面（所在的平面）上运动并且使，那么点的轨迹是椭圆17.如图，已知平行四边形中，为边的中点，将沿直线翻折成. 若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有（）A异面直线与所成的角可以为B二面角可以为C直线与平面所成的角为定值D线段的长为定值三、填空题18.如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 19.（2021江苏高三专题）以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则_.（注：底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥）20.（2021江苏盐城市高三二模）在四棱锥中，面四边形是边长为的正方形，且若点分别为的中点，则直线被四棱锥的外接球所截得的线段长为_21.沿正三角形的中线翻折，使点与点间的距离为，若该正三角形边长为，则四面体外接球表面积为_22.（2021江苏高三专题）九章算术第五章“商功”主要是土石工程体积计算，除给出了各种几何体体积公式外，还有工程分配方法，其中题（十八）今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？其中“刍甍”(chmng)是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍如图所示，四边形为矩形，若该刍甍高(到底面的距离)为1，体积为，则_.23.（2021盐城市伍佑中学高三期末）已知三个顶点都在球的表面上，且，是球面上异于的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为_.24.（2021江苏南通市高三期末）已知某空心圆锥的母线长为，高为，记该圆锥内半径最大的球为球，则球与圆锥侧面的交线的长为_.25.（2021江苏省新海高级中学高三期末）在三棱锥中，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_26.（2021江苏高三专题）如图，平面ABC平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE2，BC4，的面积为2，点P为线段DE上一点，当三棱锥PACE的体积为时，_27.（2021江苏高三专题）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若B1P/平面A1BM，则C1P长度的取值范围是_28.（2021江苏高三其他模拟）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点P，Q，则的长度为_29.（2021江苏高三专题）在三棱锥中，点P到底面的距离为7.若点P，A，B，C均在一个半径为5的球面上，则的最小值为_.30.（2021江苏省天一中学高三二模）在棱长为1 的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为_31.九章算术是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的几何原本并称现代数学的两大源泉.九章算术卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，（长度单位：丈）.则楔体的体积为_（体积单位：立方丈）. 32.（2021江苏高三专题）在三棱锥中，点P到底面的距离为7.若点P，A，B，C均在一个半径为5的球面上，则的最小值为_.33.三棱锥中，顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥的体积是_；它的外接球的表面积是_.4. 解答题34.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，点在棱上（1）若平面，求的值;（2）若平面平面，求二面角的余弦值35.如图，垂直圆O所在的平面，是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦的中点，.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.36.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，为正三角形，平面平面，且，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.37.如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、四点共面（1）证明：平面（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值38.如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直， ，90，.（1）求证：平面（2）当的长为何值时，二面角的大小为6039.（2021江苏高三专题）如图，在圆柱W中，点O1、O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2（1）若平面FNH平面NHG，证明：NGFH；（2）若直线NH与平面NFG所成线面角的正弦值等于，证明：平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于40.（2021江苏苏州市高三月考）如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，（1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值41.（2021江苏南通市高三月考）如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，O，H分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.42.（2021江苏盐城市高三一