类型四抛物线形问题【典例1】已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；图1Oxy（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.【典例2】如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、DC，求的面积；备用图第2题图（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标 【典例3】已知抛物线经过点、（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标（第3题图）yxABCO【典例4】已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求ABD的面积；（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH对称轴，垂足为H，若DPH与AOB相似，求点P的坐标.【典例5】平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），与y轴相交于点C，顶点为P 图5（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线上，MEQ=NEB，求点Q的坐标 xBC第6题图Oy【典例6】在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）抛物线（a，c是常数，a0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A对称轴上有一点M ，满足MA=MC（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM的面积； （3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD/BC，求点D的坐标 ABOCxy（第7题图）D【典例7】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：DAB=ACB；（3）点Q在抛物线上，且ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标【典例8】如图8，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由图8xy11O【典例9】已知：如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积； （3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标备用图图9 【典例10】如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；（3）如果ABP的面积等于ABC的面积，求点P坐标(第10题图)yPOxCBA