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一、单项选择题(每小题3分,共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。得分评卷人1某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1A2A3表示()。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发2对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则有()。A. X和Y独立。 B. X和Y不独立。C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)3下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。A 。 B. C. D. ,4设随机变量X, Y, , 则有( )A. 对于任意的, P1=P2 B. 对于任意的, P1 P25设X为随机变量,其方差存在,c为任意非零常数,则下列等式中正确的是() AD(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)答案1B2C3D4A5A 得分二、填空题(每空3分,共15分)评卷人6 设3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,它的伴随矩阵记为A*, 则|A*+3A2E|= 。7设A= ,则= 。8设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P,则该系统正常工作的概率为 。9设随机变量的概率密度函数为,则概率 。10设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为,则系数 。答案:6. 9 7. 1 8. 1(1P)3 9. 3/4 10. 12得分三、计算题(每小题10分,共50分)评卷人11求函数的傅氏变换 (这里),并由此证明:12发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“1”时,收报台未必收到信号“1”,而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”;同时,当发出信号“0”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求(1)收报台收到信号“1”的概率;(2)当收报台收到信号“1”时,发报台确是发出信号“1”的概率。13设二维随机变量的联合概率函数是求:(1)常数c;(2)概率P(XY );(3)X与Y相互独立吗?请说出理由。14将n个球随机的放入N个盒子中去,设每个球放入各个盒子是等可能的,求有球盒子数X的数学期望。15设一口袋中依此标有1,2,2,2,3,3数字的六个球。从中任取一球,记随机变量X为取得的球上标有的数字,求(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX得分四、证明题(共10分)评卷人16.设a=(a1,a2,an)T,a10,其长度为a,又A=aaT,(1) 证明A2=a2A;(2) 证明a是A的一个特征向量,而0是A的n-1重特征值;(3) A能相似于对角阵吗?若能,写出对角阵.得分五、应用题(共10分)评卷人17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在2000,4000( 单位:吨 )上服从均匀分布,又设每售出这种商品一吨,可为国家挣得外汇3万元,但假如销售不出而囤积在仓库,则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源,才能使国家收益最大。参考答案及评分标准一、 选择题(每小题3分,共15分)1B2C3D4A5A 二、 填空题(每小题3分,共15分)6. 9 7. 1 8. 1(1P)3 9. 3/4 10. 12三、计算题(每题10分,共50分)11.解答:函数f(t)的付氏变换为:F(w)= (3分) = (2分)由付氏积分公式有f(t)=F(w)= (2分) = = (2分)所以 (1分)12.解答: 设 A1=“发出信号1”,A0=“发出信号0”,A=“收到信号1” (2分)(1)由全概率公式 (1分)有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) (2分) =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 (1分)(2)由贝叶斯公式 (1分)有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) (2分) =0.8x0.6/0.52=12/13 (1分)13.解答:(1) 由联合概率密度的性质有即 (2分)从而 c=8 (2分)(2) (2分)(3) 当x0时, (2分)当x=0时, 同理有 (1分)因 故X与Y相互独立 (1分)14.解答:设 i =1,2,N (2分)则 (1分)因 (2分) (2分)因而 (2分)所以 (2分)15.解答:(1)随机变量的取值为1,2,3。 (1分)依题意有: (3分)的分布函数 (1分)由条件知:当时, (1分) 当时, (1分)当时, (1分)当时, (1分)(2)EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 (1分)四、证明题(共10分)(1) A2=aaTaaT=aTa aaT =a2A (2分)(2)因 Aa= aaT a=aTaa= a2a (2分)故a是A的一个特征向量。又A对称,故A必相似于对角阵 (1分)设A diag(1,2,n)=B, 其中1,2,n是A的特征值 (1分)因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分)从而1,2,n中必有n-1个为0, 即0是A的n-1重特征值 (1分)(3) A对称,故A必相似于对角阵,=diag(a2, 0,0) (2分)五、应用题(共10分)解答:设y为预备出口的该商品的数量,这个数量可只介于2000与4000之间,用Z表示国家的收益(万元), (1分)则有 (4分)因 X服从R(2000,4000), 故有 (1分)所以 =( y2 7000y + 4106 ) /1000 (3分)求极值得 y=3500 (吨) (1分)工程数学试题 第 8 页 共6 页
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