北京市东城区普通校2013届高三第二学期3月联考 数学（理科） 命题校：北京27中学 2013年3月本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知平面向量, , 且, 则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）2极坐标方程化为直角坐标方程是（ ）（A） （B） （C） （D）3平面平面的一个充分条件是（）（A）存在一条直线（B）存在一条直线（C）存在两条平行直线（D）存在两条异面直线4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（ ）（A） （B）（C）（D） 第4题图5. 如图，已知是的一条弦，点为上一点， ，交于，若，则的长是（ ）（A） （B） （C） （D） 第5题图6已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )xyO21-1第6题图(A) (B) (C) (D) 7. 设若的最小值为( )(A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 8.对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的零点恰有两个，则实数的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) 第卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 在的展开式中，含项的系数是_.（用数字作答） 40 50 60 70 80 90 分数(分)0.0050.0100.0200.030 a 10由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为. 第11题图12.已知区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为 . AyBOx13如图，和分别是双曲线 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 第13题图14.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有， 则称S为封闭集。下列命题：集合Sz|z= abi（为整数，为虚数单位）为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分 15. （本小题满分13分）在中，角的对边分别为，的面积为.（）求，的值；（）求的值.16.（本小题满分13分）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求()摸出3个白球的概率；()摸出至少两个白球的概率；（）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人有放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。侧视图俯视图正视图144417.（本小题满分14分）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积V的大小;（）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数 ()若，求函数在（1，）处的切线方程；()讨论函数的单调区间19.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为 （I）若原点到直线的距离为求椭圆的方程； （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点.（i）当，求b的值；（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数满足的关系式.20. （本小题满分13分）设，是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足的整数，数列， 由 确定。记()当时，求M的值；()求M的最小值及相应的k的值高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. B二.填空题9. 15 10. 72 11. 0.035,64.5 12. 13. 14. 三.解答题15（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，的面积为.（）求，的值；（）求的值.解：（）由已知，因为 ， 即 ，解得 .由余弦定理可得:,所以 . .7分（）由（）有,由于B是三角形的内角，易知 , 所以 . .13分16.（本小题满分13分）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现在从这两个箱子里各随机摸出2个球，求()摸出3个白球的概率；()摸出至少两个白球的概率；（）若将摸出至少两个白球记为1分，则一个人又放回地摸2次，求得分X的分布列及数学期望。解：（I）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 .3分 () 设“至少两个白球”为事件B，则，又 且A2，A3互斥，所以 .6分 （） X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的数学期望 .13分侧视图俯视图正视图144417.（本小题满分14分）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，即该几何体的体积V为-4分（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）， 异面直线DE与AB所成的角的余弦值为-4分（3） 点Q在棱DE上，存在使得同理,即，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 -14分18.（本小题满分13分）已知函数 ()若，求函数在（1，）处的切线方程；()讨论函数的单调区间解：（1）当时， ， 切线方程为 4分(2) 定义域令，解得，当，恒成立，则是函数的单调递增区间当时， 在区间（0,1）和（）上，；在（）区间上，故的单调递增区间是（0,1）和（），单调递减区间是（）当时，在区间（0, ）和（）上，；在（）区间上，故的单调递增区间是（0, ）和（），单调递减区间是（）当时，在区间（0,1）上，在区间（）上，故的单调递增区间是（），单调递减区间是（0,1）。 13分19.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为 （I）若原点到直线的距离为求椭圆的方程； （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点. （i）当，求b的值； （ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数满足的关系式.解：（I） 解得 椭圆的方程为 4分 （II）（i）e椭圆的方程可化为： 易知右焦点，据题意有AB： 由，有： 设， 8分 （2）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等成立. 设M（x，y）， 又点M在椭圆上， 由有： 则 又A，B在椭圆上，故有 将，代入可得： 14分20.（本小题13分）设，是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足的整数，数列， 由 确定。记()当时，求M的值；()求M的最小值及相应的k的值 11 / 11