2013 年济宁市高三模拟考试数学(理工类)试题 2013.03本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分 l50 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上2选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用 05 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件 A、B 独立，那么 P(AB)=P(A)P(B)第 I 卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 l2 小题每小题 5 分。共 60 分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的1复数 ，则复数 在复平面上对应的点位于2=()iz1zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【KS5U 解析】 ，所以 ，对应点位 ，选 D.21z=()ii12zi1(,)22已知全集 U=R，集合 A= ，集合 B= ，则如图所示2(+)y|lnx,Rx|的阴影部分表示的集合是A B 013x|x或|03x或 ()0UAx或选 A.3下列命题中正确的有设有一个回归方程 =23x，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 3 个单位；y命题 P：“ ”的否定 P：“ ”；200,-1xR,102xR-设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，若 P(X1)=p，则 P(-10,)zaxby的最大值为abA1 B C D246【答案】D【KS5U 解析】由 得 ，可知斜率为 ，作出可行域如=+(0,)zaxbyazyxb0ab图， 由图象可知当直线 经过点 D 时，直线azyxb的截距最小，此时 最小为 2.由 得 ，即 ，代入azyxbz213y(2,)直线 得 ，又 ，所以 ，当且仅当+232b36ab6ab，即 时取等号，所以 的最大值为 ，选 D.31a1,a8已知 m，n 是空间两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是,A若 ， ， ，则 B若 ，则/n/mn=,/mn/C若 则 D若 则,/【答案】D【KS5U 解析】根据线面垂直的判和性质可知，D 正确。9某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有A24 种 B18 种 C48 种 D36 种【答案】A【KS5U 解析】若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外 2 人分别来自不同年级，有种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则 2 名同学来自一个年级，另外 2 名213C分别来自两个年级。有 ，所以共有 24 种乘车方式，选 A.132C10关于函数 的四个结论：()=)fxsin-coxsP1：最大值为 ；2P2：把函数 的图象向右平移 个单位后可得到函数()1fxsix4的图象；f(x)sincoP3：单调递增区间为 ， ； 78k,kZP4：图象的对称中心为( )， 其中正确的结论有12A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B【KS5U 解析】因为 ，2()=21(2)14fxsincoxsinxcossinx所以最大值为 ，所以 P1错误。将 的图象向右平移 个单位2()f后得到 ，所以 P2错误。由()()24fxsixsix，解得增区间为 ，即22kk388kxk,Z，所以 正确。由 ，得38,Z3p4x,，所以此时的对称中心为 ，所以 正确，所以选 B.xk(1)24p11现有四个函数： 的图象(部分)yxsinAyxcosAyx|cosA2xyA如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是 A B C D【答案】C【KS5U 解析】为偶函数，为奇函数，为奇函数，且当 时 ，为非奇非偶0xy函数。所以对应的顺序为，选 C.12过双曲线 (a0,b0)的左焦点 F(-c,0)作圆 的切线，切点为 E，21xyab22a延长 FE 交抛物线 于点 P，O 为原点，若 ，则双曲线的离心率为24c1E(OFP)A B C D153523【答案】A 【KS5U 解析】因为 ，所以 是 的中点。设右焦点为 ,则 也是1OE(FP)E,FP1F抛物线的焦点。连接 ,则 ，且 ,所以 ，112a124cab设 ，则 ，则 过点 F 作 轴的垂线，点 P 到该垂线的距离为(,)Pxyc,xcx，由勾股定理得 ，即 ，解得2a224b224()()ac，选 A.51e第卷(非选择题共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题每小题 4 分共 16 分13、如图，长方形的四个顶点为 O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线 经过点2yaxB现将一质点随机投入长方形 OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 【答案】 32【KS5U 解析】因为 B(2,4)在曲线 上，所以 ，解得 ，所以曲线方程为2yax4a1，因为 ，所以阴影部分的面积为 ，所以质点落在2yx230018xd 863图中阴影区域的概率是 。62414 的展开式中各项系数的和为 243，则该展开式中常数项为 251()ax【答案】10【KS5U 解析】因为展开式中各项系数的和为 243，所以当 时， ，解得1x5()243a，展开式的通项公式为 ，由 ，2a 02551()2kkkkTCC10解得 ，所以常数项为 。4k45015对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+1124=7+9此规律，5 4的分解式中的第三个数为 【答案】125【KS5U 解析】由题意可知， ， ，所以 544325794512351279的分解式中的第三个数为 。116函数 的定义域为 D，若存在闭区间a，b D，使得函数 满足：(x)f f(x)(1) 在a，b内是单调函数；(2) 在a，b上的值域为2a，2b，则称区间f(x)a，b为 y= 的“和谐区间” 下列函数中存在“和谐区间”的是 (只需填符f(x)合题意的函数序号) ； ；20f(x)xf()eR) ； 。12401(【答案】【KS5U 解析】若 ，则由题意知 ，即 ，解得 时，满2()fx()2fab2ab02ab足条件。若 ，则由题意知 ，即 ，即 是方程 的()xfe()2f2abe,xe两个根，由图象可知方程 无解时，所以不满足条件。若 ，则由题意知2x1()fx，即 ，所以只要 即可，所以满足条件。若 ，因()2fab1a1ab 24()1xf为 ，则由题意知当 时， ，函数递增，当 时，24()1)xf01x()0fxx，函数递减。当 时由 得 ，由 ，解得()0fxx()2fab241ab241x或 ，所以当 时，满足条件，即区间为 。所以存在“和谐区间”10,1ab0,的是。三、解答题：本大题共 6 小题。共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17(本小题满分 12 分)在ABC 中，已知 A= ， 425cosB(I)求 cosC 的值；()若 BC=2 ，D 为 AB 的中点，求 CD 的长518(本小题满分 l2 分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 、 、 。指321标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各项指标检测结果互不影响 (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率；(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望19(本小题满分 12 分)如图 1， 的直径 AB=4，点 C、D 为 上两点，且 CAB=45， DAB=60，FOAOA为弧 BC 的中点沿直径 AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图 2。(I)求证：OF 平面 ACD；/()求二面角 CADB 的余弦值；()在弧 BD 上是否存在点 G，使得 FG 平面 ACD?若存在，试指出点 G 的位置；若不存在，/请说明理由20(本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和 ，数列 满a12n*nSa()(N)nb足 = nb2a(I)求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；n n()设 ，数列 的前 n 项和为 Tn，求满足 的 n 的最2nncloga2nc 251*n(N)大值。21(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，短轴长为 42.3(I)求椭圆 C 的标准方程；(II)直线 x=2 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,A、B 是椭圆O 上位于直线 PQ 两侧的动点，且直线 AB 的斜率为 。12求四边形 APBQ 面积的最大值；设直线 PA 的斜率为 ，直线 PB 的斜率为 ，判1k2k断 + 的值是否为常数，并说明理由1k222(本小题满分 l3 分)已知函数 3f(x)alnx(aR)(I)若 a=-1，求函数 的单调区间；f()若函数 的图象在点(2, f(2)处的切线的倾斜角为 45o，对于任意的 t yx) 1，2，函数 是 的导函数)在区间(t,3)上总不是32mg(f(x)(x)f(单调函数，求 m 的取值范围；()求证： 412*lnlln.(,nN)2013 年济宁市高三模拟考试数学（理工类）试题参考答案及评分标准一 、选择题：每小题 5 分，共 60 分.15 DACCB 610 DDDAB 1112 CA 13. 14. 10 15. 125 16. 32三、解答题：共 74 分.17解：（） 且 ， 2 分52cosB(0,18) 5cos1sin2B4)43cos()(cos BAC分6 分1052sin43cos43 B（）由（）可得 83)(cos1i 2C分由正弦定理得 ，即 ，解得 sinCA10325AB6