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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题1、 选择题:本题共12小题,每小题5分,总共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 已知全集U=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N=3,4,则Cu(MUN)=A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,42.设iz=4+3i,则z等于A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i3.已知命题p:xR,sinx1,命题q:xR,e|x|1,则下列命题中为真命题的是A.pqB.pqC.pqD.(pq)4.函数f(x)=sinx3+cosx3的最小正周期和最大值分别是A.3和2B.3和2C.6和2D.6和25.若x,y满足约束条件x+y4xy2y3,则z=3x+y的最小值为A.18B.10C.6D.46.cos212cos2512=A.12B. 33C. 22D. 327.在区间(0,12)随机取1个数,则取到的数小于13的概率为A. 34B. 23C. 13D. 168.下列函数中最小值为4的是A.y=x2+2x+4B.y=sinx+4sinxC.y=2x+22xD.y=lnx+4lnx9.设函数fx=1x1+x,则下列函数中为奇函数的是A. fx11B. fx1+1C. fx+11D. fx+1+110.在正方体ABCD-A1B1C1D1,P为B1D1的重点,则直线PB与AD1所成的角为A.2B. 3C. 4D. 611.设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为A.52B.6C. 5D.212.设a0,若x=a为函数f(x)=a(xa)2(xb)的极大值点,则A.abC.aba2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知向量a=(2,5),b=(,4),若a/b,则=_.14.双曲线x24y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为_.15.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60,a2+c2=3ac,则b=_.16.以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可)。三、解答题(一)必考题17.(12分)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x和y,样本方差分别记为S12和S22.(1)求x,y,S12,S22(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果)yx2S12+S2210,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).18. (12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,M为BC的中点,且PBAM.(1) 证明:平面PAM平面PBD;(2) 若PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.19.(12分)设an是首项为1的等比数列,数列bn满足bn=nan3,已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和.证明:Tn0)的焦点F到准线的距离为2.(1) 求C的方程.(2) 已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.21.(12分)已知函数fx=x3x2+ax+1.(1)讨论fx的单调性;(2)求曲线y=fx过坐标原点的切线与曲线y=fx的公共点的坐标.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,C的圆心为C2,1,半径为1.(1)写出C的一个参数方程。(2)过点F4,1作C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程。23.选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数fx=xa+x+3.(1)当a=1时,求不等式fx6的解集;(2)若fxa,求a的取值范围.7
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