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几何五大模型 一、五大模型简介 (1)等积变换模型 1 、等底等高的两个三角形面积相等; 2 、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图所示, Ssub1/sub:Ssub2/sub=a:b; 3 、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图所示, Ssub1/sub:Ssub2/sub=a:b; 4 、在一组平行线之间的等积变形,如图所示, Ssub ACD/sub=Ssub BCD/sub ;反之,如果 Ssub ACD/sub=Ssub BCD/sub , 则可知直线 AB平行于 CD 。 例、如图,三角形ABC的面积是 24,D、E、F 分别是 BC 、AC 、AD的中 点,求三角形DEF的面积。 (2)鸟头(共角)定理模型 1 、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三 角形; 2 、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹 边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中,D、E 分别是 AB 、AC上或 AB 、AC延长线 上的点 则有: Ssub ABC/sub :Ssub ADE/sub= (AB AC ): (AD AE ) 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理! 如图连接 BE ,根据等积变化模型知,Ssub ADE/sub : Ssub ABE/sub =AD :AB 、Ssub ABE/sub : Ssub CBE/sub=AE: CE ,所以 Ssub ABE/sub : Ssub ABC/sub=Ssub ABE/sub : (Ssub ABE/sub+Ssub CBE/sub ) =AE :AC , 因此 Ssub ADE/sub :Ssub ABC/sub=(Ssub ADE/sub : Ssub ABE/sub )( Ssub ABE/sub :Ssub ABC/sub ) = (AD :AB )( AE :AC )。 例、如图在 ABC中,D在 BA的延长线上, E在 AC上,且 AB :AD=5:2, AE :EC=3:2, ADE的面积为 12 平方厘米,求ABC的面积。 (3)蝴蝶模型 1 、梯形中比例关系 (“梯形蝴蝶定理”) 例、如图,梯形ABCD ,AB与 CD平行,对角线AC 、BD交于点 O ,已知 AOB 、BOC的面积分别为25 平方厘米、 35 平方厘米,求梯形ABCD 的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理” ): 例、如图,四边形ABCD 的对角线 AC 、BD交于点 O ,如果三角形ABD 的 面积等于三角形BCD面积的 1/3 ,且 AO=2 、DO=3 ,求 CO的长度是 DO 长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径,通过构造模型, 一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内 的三角形相联系; 另一方面, 也可以得到与面积对应的对角线的比例关 系。 (4)相似模型 1 、相似三角形:形状相同, 大小不相等的两个三角形相似; 2 、寻找相似模型的大前提是平行线:平行于三角形一边的直线 和其他两边或两边延长线相 交,所构成的三角形与原三角形相似。 3 、相似三角形性质: 相似三角形的一切对应线段( 对应高、对应边)的比等于 相似比; 相似三角形周长的比等于相似比; 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类, 注意这两大 类中都含有 BC平行 DE这样的一对平行线! 例、如图,已知在平行四边形ABCD 中,AB=16 、AD=10 、BE=4 ,那么 FC 的长度是多少? (5)燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴,所以在数学上把这样的 几何图形叫做燕尾模型, 看一下它都有哪些性质: Ssub ABG/sub :Ssub ACG/sub=Ssub BGE/sub : Ssub CGE/sub=BE :CE Ssub BGA/sub :Ssub BGC/sub=Ssub GAF/sub : Ssub GCF/sub=AF: CF Ssub AGC/sub:Ssub BGC/sub=Ssub AGD/sub: Ssub BGD/sub=AD: BD 例、如图, E、D分别在 AC 、BC上,且 AE:EC=2:3,BD :DC=1:2,AD 与 BE交于点 F,四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米,求三角形ABC 的面积。 二、五大模型经典例题详解 (1)等积变换模型 例 1、图中的 E、F、G分别是正方形ABCD 三条边的三等分点,如果正 方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少? 例 2、如图所示, Q 、E、P、M分别为直角梯形ABCD 两边 AB 、CD上的点, 且 DQ 、CP 、ME彼此平行,已知AD=5 、BC=7 、AE=5 、EB=3 ,求阴影部分 三角形 PQM 的面积。 (2)鸟头(共角)定理模型 例 1、如图所示,平行四边形ABCD ,BE=AB 、CF=2CB 、GD=3DC、HA=4AD , 平行四边形 ABCD 的面积为 2,求平行四边形ABCD 与四边形 EFGH 的面 积比。 例 2、 如图所示,ABC的面积为 1, BC=5BD 、 AC=4EC 、 DG=GS=SE、 AF=FG , 求FGS的面积。 (3)蝴蝶模型 例 1、如图,正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少? 例 2、如图,长方形ABCD 被 CE 、DF分成四块,已知其中3 块的面积分 别为 2、5、8 平方厘米,求余下的四边形OFBC 的面积。 例 3、如图,已知正方形ABCD 的边长为 10 厘米, E为 AD的中点, F为 CE的中点, G为 BF的中点,求三角形BDG 的面积。 (4)相似模型 例 1、如图,正方形的面积为1,E、F分别为 AB 、BD的中点,GC=1/3FC, 求阴影部分的面积。 例 2、如图,长方形ABCD ,E为 AD的中点, AF与 BD 、BE分别交于 G 和 H,OE垂直于 AD ,交 AD于 E点,交 AF于 O点,已知 AH=5,HF=3,求 AG的长。 (5)燕尾模型 例 1、如图,正方形ABCD 的面积是 120 平方厘米, E是 AB的中点, F 是 BC的中点,求四边形BGHF 的面积。 例 2、如图,在 ABC中, BD=2DA 、CE=2EB 、AF=2FC ,那么 ABC的面 积是阴影 GHI 面积的几倍? 例 3、如图,在ABC中,点 D是 AC的中点, 点 E、F是 BC的三等分点, 若ABC的面积是 1,求四边形 CDMF 的面积。 三、巩固练习 1、如图,在角MON 的两边上分别有A、C、E、B、D、F六个点,并且 OAB 、ABC 、 2、如下图, ABCD 为平行四边形, EF平行 AC ,如果 ADE的面积为 4 平方厘米,求三角 3、如下图,在三角形ABC中,BD=2AD ,AG=2CG ,BE=EF=FC ,求四边形 DGFE 面积占三角 4、如图,四边形EFGH 的面积是 66 平方米, EA=AB 、CB=BF 、DC=CG、HD=DA ,求四边形 5、边长为 1 的正方形 ABCD 中, BE=2EC 、FC=DF ,求三角形 AGE 的面积。 6、如图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG 的面积为 11,三 7、如图,三角形ABC是一块锐角三角形余料,BC=120毫米,高 AD=80毫米。现在要把 AC上,这个正方形零件的边长是多少? 8、如图,已知正方形ABCD 的面积为 120 平方厘米, E是 AB边的中点, F 是 BC边的中 9、如图,正方形ABCD 的边长是 12 厘米, E、F分别是 AB 、BC的中点, AF与 CE交于点 10、如图,在四边形ABCD 中,AB=3BE 、AD=3AF ,四边形 AEOF 的面积是 12,求平行四 四、巩固练习详解:
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