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专题05 空间向量与立体几何(重点)一、单选题1已知向量,且与互相垂直,则k的值是( )A1BCD【答案】D【解析】由向量垂直得,结合向量的点坐标求出,即可求k的值.依题意得:,即,而,4kk250,解得.故选:D2已知向量=(1,0,1),=(0,1,1),O为坐标原点,则三角形OAB的面积为( )ABC1D【答案】D【解析】利用向量的夹角公式可得,进而可求出,最后由三角形面积公式可得结果.,由于,所以,所以三角形OAB的面积为,故选:D.3已知向量,若共面,则x等于( )AB1C1或D1或0【答案】A【解析】由共面,设,根据坐标运算列出方程求解即可.因为共面,设所以解得:,即故选:A4已知长方体,则异面直线与所成角的余弦值为( )A0BCD【答案】B【解析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出异面直线所成的角;解:如图建立空间直角坐标系,则,所以,设异面直线与所成的角为,则故选:B5如图,已知正方体的棱长为4,E为棱的中点,点P在侧面上运动,当平面与平面,平面所成的角相等时,的最小值为( )ABCD【答案】B【解析】建立空间直角坐标系,利用空间向量即可求解.如图,建立空间直角坐标系,则,. 设 则 易知平面和平面的一个法向量分别为.设平面的法向量为,则 即 取,可得所以 为平面的一个法向量.由题意,平面与平面,平面所成的角相等,所以.或 在平面上,直线过点和的中点,在平面上,直线只过点,即点,取为的中点,连接,则点在上运动或点在点处,由等面积法可得的最小值为.故选:B.【点睛】对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.6在下列结论中:若向量共线,则向量所在的直线平行;若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面;若三个向量两两共面,则向量共面;已知空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得其中正确结论的个数是( )A0B1C2D3【答案】A【解析】根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.平行向量就是共线向量,它们的方向相同或相反,未必在同一条直线上,故错两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内,故错.三个向量两两共面,这三个向量未必共面,如三棱锥中,两两共面,但它们不是共面向量,故错根据空间向量基本定理,需不共面才成立,故错故选:A7在三棱锥中,两两垂直,为棱上一动点,.当与平面所成角最大时,与平面所成角的正弦值为( )ABCD【答案】C【解析】首先利用线面角的定义,可知当为的中点时,取得最小值,此时与平面所成角最大,再以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量坐标法求线面角的正弦值.,且,平面,易证平面,则与平面所成角为,当取得最小值时,取得最大值在等腰中,当为的中点时,取得最小值.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,则,设平面的法向量为,则,即令,得.因为,所以与平面所成角的正弦值为.故选:C【点睛】关键点点睛:本题重点考查线面角,既考查了几何法求线面角,又考查向量法求线面角,本题关键是确定点的位置,首先利用线面角的定义确定点的位置,再利用向量法求线面角.8平面过正方体的顶点,点、分别为、的中点,若平面,平面,则直线与直线所成角的正切值为( )ABCD【答案】B【解析】以为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,用向量法计算即可.不妨设AB=2, 以为原点,为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,则设平面EFG的一个法向量,则,不妨令x=1,则易知平面ABCD的一个法向量为,设直线m,n的方向向量分别为,因为平面,所以不妨令=1,则同理可求设直线与直线所成角为,则所以故选:B【点睛】向量法解决立体几何问题的关键:(1)建立合适的坐标系;(2)把要用到的向量正确表示;(3)利用向量法证明或计算.二、多选题9点P是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则的值可能是( )A3BC2D1【答案】CD【解析】如图建系,可得点A、的坐标,设,可得的坐标,进而可得的表达式,根据x,y的范围,即可求得答案.如图建系:因为P在底面A1B1C1D1内,所以设,又,所以,所以,因为,所以的最小值为-2,最大值为0,所以的值可能是-2,-1.故选:CD【点睛】解题的关键是在适当位置建系,根据题意,设出P点坐标,在根据坐标中x,y的范围求解,考查数形结合,计算求值的能力.10在长方体中,分别为棱的中点,则正确的选项是( )A异面直线与所成角的大小为60B异面直线与所成角的大小为90C点到平面的距离为D点到平面的距离为【答案】BC【解析】建立空间直角坐标系,求出,后,由可判断A、B;求出平面的一个法向量后,由点到平面的距离为可判断C、D.如图建立空间直角坐标系,连接,则,所以,所以,所以,所以异面直线与所成角的大小为90,故A错误,B正确;又,设平面的一个法向量,则,令,则,则点到平面的距离为,故C正确,D错误.故选:BC.【点睛】关键点点睛:(1)建立合理的空间直角坐标系,利用空间向量求解异面直线的夹角;(2)转化点到平面的距离为方向向量在平面法向量方向上投影的绝对值.11已知正方体的棱长为,为棱上的动点,下列说法正确的是( )AB二面角的大小为C三棱锥的体积为定值D若平面,则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为【答案】AC【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断ABD各选项的正误,利用锥体的体积公式可判断C选项的正误.以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系.则、,设点,其中.对于A选项,则,所以,A选项正确;对于B选项,设平面的法向量为,由,取,可得,则,设平面的法向量为,由,取,则,所以,所以,二面角的大小不是,B选项错误;对于C选项,平面,平面,平面,到平面的距离等于点到平面的距离,而点到平面的距离为,即三棱锥的高为,因此,C选项正确;对于D选项,平面,则为平面的一个法向量,且,又,所以,直线与平面所成角的正弦值的取值范围为,D选项错误.故选:AC.【点睛】方法点睛:求空间角的常用方法:(1)定义法:由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中条件,解对应的三角形,即可求出结果;(2)向量法:建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量的夹角(两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量)的余弦值,即可求得结果.12已知矩形,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,翻折过程中( )A存在某个位置,使得B存在某个位置,使得C存在某个位置,使得D存在某个位置,使得,、均不等于零【答案】AD【解析】由向量数量积为零得出向量垂直,运用假设存在某个位置,应用线面垂直的判定和性质,结合矩形的条件可判断各选项的正误.在矩形中,分别过点、作、,垂足分别为点、.由已知条件,. 对于A选项,若存在某个位置,使得,平面,平面,则,在中,斜边,存在,故A正确;对于B选项,若存在某个位置,使得,平面,平面,则,在中,斜边,矛盾,故B错误;对于C选项,若存在某个位置,使得,平面,平面,在平面内,过点能作两条直线与垂直,矛盾,故C错误;对于D选项,取平面平面,平面平面,平面,平面,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系, 则、,则,则,则,D选项正确.故选:AD.【点睛】关键点点睛:本题考查垂直关系存在性的验证,在推导时,可转化为利用线面垂直来推导线线垂直,也可以找个合适的位置,建立空间直角坐标,利用向量法来求解.三、填空题13在棱长为1的正方体中,若,则_【答案】【解析】根据空间向量的加法法则求出向量的和,然后再计算模正方体棱长为1,则对角线长为,所以故答案为:14正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是_【答案】【解析】当弦MN经过圆心时,弦MN最长,此时,MN=2,以D为原点,如图,建立如图所示的空间直角坐标系,即可得出结果.当弦MN经过圆心时,弦MN最长,此时,MN=2,以D为原点,如图,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设M,N是上下底面的中心,则, 因为P为正方体面上的点,P在上下两个面相同,P在四个侧面相同,当P在底面ABCD时,当=0或2时,=0或2时,最小为-2;当时,最大为0;当P在侧面时,当=0或2时,=0或2时,最小为-2;当时,最大为0;所以取值范围:故答案为:【点睛】关键点点睛:固定M,N的位置,建立空间直角坐标系是结果动点问题的常用方程.本题考查了数形结合思想、计算能力,属于中档题目.15若平面向量为单位向量, 空间向量满足,则对任意的实数,的最小值为_【答案】【解析】由,求出的最小值.即,当且仅当取等号即的最小值为故答案为:【点睛】关键点睛:解决本题的关键在于由,结合不等式的性质得出最值.16下列四个命题:(1)已知向量是空间的一组基底,则向量也是空间的一组基底;(2) 在正方体中,若点在内,且,则的值为1;(3) 圆上到直线的距离等于1的点有2个;(4)方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是_.【答案】(1)(2)(4)【解析】(1)已知向量是空间的一组基底,即向量不共面,则也不共面,所以向量是空间的一个基底,正确;(2),正确;(3)由圆的方程,得到圆心坐标为,半径为,则圆心到直线的距离为, 圆上的点到直线的距离为的点有个,错误;(4)由题意可化为或,不成立,方程 表示的曲线是一条直线,正确,故答案为(1)(2)(4).四、解答题17如图,在四棱锥中,面面,M为的中点()求证:;()求直线与平面所成角的正弦值【答案】()证明见解析;()【解析】()取的中点为,连接,可证,可证明;()建立空间直角坐标系,利用向量法求解.()(1)记的中点为,连接,面面,面面,面为的中点, ,面,又面,()面,又,故可如图建系,不妨设,则,由等边三角形AED可知,,,则有,
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