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2.解一元二次方程第课时教学内容运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.重难点关键1重点:运用开平方法解形如(x+m)2=(n0)的方程;领会降次转化的数学思想2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=,知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n)的方程教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 问题1.填空 ()-8x+_=(_)2;(2)9x2+2x+_(_);(3)x2+px+_=(+_).问题2如图,在ABC中,=90,点从点B开始,沿B边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点开始,沿BC边向点C以2m/s的速度移动,如果A=cm,BC=12c,P、Q都从B点同时出发,几秒后P的面积等于8cm? 老师点评: 问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;()()2 问题:设x秒后PBQ的面积等于8m2 则Px,=x 依题意,得:x2x=8 2=8 根据平方根的意义,得x2 即x1=2,2=-2 可以验证,和-都是方程x2x=8的两根,但是移动时间不能是负值 所以2秒后的面积等于82. 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=2,如果换元为2+1,即(2+1)=8,能否也用直接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论) 老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=2 即21=2,t+12 方程的两根为-,t2=- 例1:解方程:x+4+4= 分析:很清楚,x24x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x)21. 解:由已知,得:(x+)=1 直接开平方,得:x+2= 即+2=,x+2=- 所以,方程的两根x=-,x=-3 例.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的02提高到1.4m,求每年人均住房面积增长率 分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是+10=10(1+);二年后人均住房面积就应该是10(+)+0(1+)x=10(1x)2 解:设每年人均住房面积增长率为, 则:0(+x)2=4 (1)2=14 直接开平方,得1+=1.2 即+x=.2,+x=-1.2 所以,方程的两根是x0.2=20%,x=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x=-22应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20% (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”. 三、巩固练习 教材练习. 四、应用拓展 例某公司一月份营业额为万元,第一季度总营业额为.3万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2. 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x. 那么+(1+)+(1x)2=. 把(+)当成一个数,配方得: (+x+)2=2.56,即(x+)225 x+=1.6,即x+=1.6,x+=16 方程的根为1=10%,x2-31 因为增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应掌握: 由应用直接开平方法解形如2=p(p0),那么x转化为应用直接开平方法解形如(m+n)2=(0),那么mx+n=,达到降次转化之目的. 六、布置作业 1.教材复习巩固、2. 2选用作业设计:一、选择题 1若2-4xp(xq)2,那么p、的值分别是( ). p=4,q= B.p=,-2 p=-4,q=2 D.p-,q- 2.方程3x2+9=0的根为( ) A B.- C3 D无实数根 .用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是( ) A(x-)2=,x= B.(x-)2,原方程无解 C(-)2=,+,2= D.(x-)2=,x1,2- 二、填空题 1若x2-160,则x的值是_ 2.如果方程2(-3)=72,那么,这个一元二次方程的两根是_. 3如果、b为实数,满足+b212b+6=0,那么ab的值是_. 三、综合提高题 .解关于x的方程(x+m)2=n. 2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长4m (1)鸡场的面积能达到180吗?能达到00m吗? (2)鸡场的面积能达到210m吗? 3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?答案:一、1B 2. 3.B二、1. 2.9或-3 38三、1.当时,+m=,x-m,x2-m当n0时,无解2.(1)都能达到.设宽为,则长为40-2x,依题意,得:x(40-2)=80整理,得:x-0x+9=0,x1=10,x2=10-;同理x(0-x)=200,1=x=1,长为4020=20. ()不能达到.同理x(0-)=210,-0x+15=0,ba=40-1=-100,无解,即不能达到.3.因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.
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