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4月大数据精选模拟卷03(新课标卷)文科数学本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则( )ABCD【答案】D【详解】由,即,得,集合,由得,即,集合,由数轴表示可得,.故选:D 2复数满足,则( )ABCD【答案】D【详解】,则,所以,因此,.故选:D3如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为( )ABCD【答案】A【详解】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,设 =所以当时,上式取最小值 ,故选:A.4已知,且,则等于( )ABC3D3【答案】A【详解】由,可得,即,又因为,所以,所以.故选:A.5已知数列的前项和满足,且,则( )ABCD【答案】C【详解】对于:当时,解得;又当时,所以得,当时,所以得,可得,所以数列为等差数列,设其公差为因为,解得又,且易得,所以,故.6函数的图象大致是( )ABCD【答案】A详解】由题知的定义域为因为,所以是偶函数,函数图象关于轴对称,排除选项B;又,故排除选项C,D.7某三棱柱的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱柱的体积为( )ABC4D8【答案】C【详解】由三视图可知,还原后的几何体直观图如图,故该几何体的体积为: 故选:C8筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理,如图所示,已知筒车的半径为,筒车转轮的中心到水面的距离为,筒车沿逆时针方向以角速度转动,规定:盛水筒对应的点从水中浮现(即时的位置)时开始计算时间,且以水轮的圆心为坐标原点,过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系,设盛水筒从点运动到点时经过的时间为(单位:),且此时点距离水面的高度为(单位:米),筒车经过第一次到达最高点,则下列叙述正确的是( ) A当时,点与点重合B当时,一直在增大C当时,盛水筒有次经过水平面D当时,点在最低点【答案】C【详解】设,依题意又,所以又,圆的半径为,所以点满足,当时,解得,所以,故该函数最小正周期为,所以当时,点与点重合,选项A错误;令,解得,当时,又因为,所以选项B错误;令,即,所以或,解得或又,所以可以取的值为,此时盛水筒有次经过水平面,选项C正确;当时,所以选项D错误,故选:C9执行如图所示的程序框图,若输出的,则空白判断框中可填入的条件是( )ABCD【答案】C【详解】模拟执行程序框图,输入,不满足,则,需不满足判断框,循环;不满足,则,需不满足判断框,循环;不满足,则,需不满足判断框,循环;不满足,则,需不满足判断框,循环;满足,则,需满足判断框,输出;判断框中的条件应为:.故选:C.10已知菱形边长为2,沿对角线折叠成三棱锥,使得二面角为60,设为的中点,为三棱锥表面上动点,且总满足,则点轨迹的长度为( )ABCD【答案】D【详解】连接,交于点,连接,为菱形,所以,均为正三角形,所以为二面角的平面角,于是,又因为,所以为正三角形,所以,取的中点,取的中点,连接,所以, 所以,所以平面,所以在三棱锥表面上,满足的点轨迹为,因为,所以的周长为,所以点轨迹的长度为.故选:D11已知点P是抛物线上一点,且点P到点的距离与到y轴的距离之和的最小值为,则( )AB4CD【答案】D【详解】如图所示,由题得准线方程为,点P到点的距离与到y轴的距离之和为,(当点在线段与抛物线的交点时取等),所以,解之得.12若图象上存在两点,关于原点对称,则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【详解】根据题意,若要求“友情点对”,可把时的函数图像关于原点对称,研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可,关于原点对称的解析式为,考查的图像和的交点,可得,令,所以,为减函数,为增函数,其图象为,故若要有两解,只要即可,故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知,则与的夹角为_.【答案】【详解】,与的夹角为.14已知红箱内有个红球、个白球,白箱内有个红球、个白球,所有小球大小、形状完全相同第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,依次类推,第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去则第次取出的球是红球的概率为_【答案】【详解】设第次取出红球的概率为,则取出白球的概率为,考虑第次取出红球的概率为.若第次取出的球为红球,则第次在红箱内取出红球的概率为;若第次取出的球为白球,则第次在白箱内取出红球的概率为.所以,且,所以,因此,.15已知双曲线的左,右焦点分别为,过右焦点的直线交该双曲线的右支于,两点(点位于第一象限),的内切圆半径为,的内切圆半径为,且满足,则直线的斜率为_.【答案】【详解】设圆与的三边的切点分别为,如图令,根据双曲线的定义可得可得,由此可知,在中,轴于,同理轴于,轴.过圆心作的垂线,垂足为.易知直线的倾斜角与大小相等.不妨设,则,所以根据勾股定理,所以.16已知正方体的棱长为4,点是 的中点,点在侧面内,若,则面积的最小值为_.【答案】【详解】如图,取的中点,的中点,连接 由于在面内的射影为,故因为在面内的射影为,所以.故由,因为,所以平面.要使,必须点在平面内,又点在侧面内,所以点在平面与平面的交线上,即.因为平面,所以,所以当时,最小,此时,的面积最小.又,故.由的面积可得,所以.故答案为: 三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)已知,且角C为锐角.求角C的大小;(2)若,ABC的面积S=,求的值.【详解】(1)由正弦定理得,即,即有,即,又,所以,因为角为锐角,所以. (2)因为,因为ABC的面积S=abC=ab=,所以ab=6,由余弦定理得,所以a2+b2=ab+7=1318起源于汉代的“踢键子”运动,虽有两千多年历史,但由于简便易行,至今仍很流行某校为丰富课外活动、增强学生体质,在高一年级进行了“踢键子”比赛,以学生每分钟踢毯子的个数记录分值,一个记一分参赛学生踢键子的分值均在分之间,从中随机抽取了100个样本学生踢键子的成绩进行统计分析,绘制了如图所示的频率分布直方图,并称得分在之间为“踢毽健将”,90分以上为“踢建达人”(1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替);(2)要在“踢毽健将”和“踢建达人”中分层抽样抽出6名同学在全级进行表演,试问“踢毽达人”张睿被抽取的概率是多少?(3)以样本的频率值为概率,若高一(1)班有60个同学,试估计该班“踢毽健将”和“踢健达人”各有多少人【详解】(1)由,样本的平均值为68; (2)依频率分布直方图“踢毽健将”有10人,“踢毽达人”有5人需分层抽样抽6人,则要在“踢毽达人”中抽取2人,所有的抽法共10种,包含张睿的抽法有4种,故张睿同学被抽取的概率是(3)由频率分布直方图知,“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率分别是0.1和0.05,由此估计“踢毽健将”和“踢毽达人”的概率分别是0.1和0.05,所以高一(1)班“踢毽健将”有人,“踢毽达人”有人19如图,在直四棱柱中,底面是边长为的菱形,且,、分别为、的中点(1)证明:平面;(2)若,求点到的距离【详解】(1)证明:连接交于点,连接,因为四边形为菱形,且,为的中点,因为为的中点,所以,且,在直四棱柱中,且,为的中点,则且,且,所以,四边形为平行四边形,所以,(2)解:若,则和为等边三角形,平面,平面,则,由勾股定理可得,同理,连接,则,所以,所以,而设点到面的距离为,则由(1)知及得,解得,所以点到面的距离20已知椭圆:的左焦点与上顶点关于直线对称,又点在上(1)求椭圆的标准方程;(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点,过点作直线的垂线,垂足为,试证点总在定圆上【详解】解:(1)左焦点,上顶点关于直线对称,可知,将点的坐标代入椭圆得,又,联立解得:,故椭圆的标准方程为:;(2)当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,联立直线和椭圆的方程,得,消去并整理,得,因为直线和椭圆有且仅有一个交点,即方程有两个相等的根,化简并整理,得因为直线与垂直,所以直线的方程为:,联立解得,把代入上式得,点Q坐标(x,y)总满足,恒为定值 ;当切线的斜率为时,直线,过点作直线的垂线为:,即此时或,点Q坐标(x,y)也满足;当切线的斜率不存在时,直线,过点作直线的垂线为:,即此时或,点Q坐标(x,y)也满足综上所述,点总在定圆上21设函数.(1)若,求函数的单调区间;(2)若在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.【详解】(1)由题意,函数的定义域为,且,因为,解得,所以,令,即,解得或;令,即,解得,所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.(2)若在定义域上是增函数,则对恒成立,因为,即时,不等式恒成立,即对恒成立,因为,当且仅当时取等号,所以,即实数a的取值范围是.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的方程为,曲线的极坐标方程为(1)求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程;(2)曲线分别交曲线和曲线于点,求的最大值及相应的值.【详解】解:(1)曲线的普通方程为,由,得的极坐标方程为,由曲线的极坐标方程为,得曲线的普通方程为(2)由曲线 的极坐标方程为,令,则,又因为,.,当 ,即时,取得最大值.23选修4-5:不等式选讲(10分)已知(1)当时,求不等式的解集;(2)对实数,证明.【详解】(1)当时,当时,不满足;当时,当时,满足,
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