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1月大数据精选模拟卷05(新课标卷)理科数学本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若集合,则( )ABCD【答案】C【详解】,所以.故选:C.2复数( )A0B2CD【答案】D【详解】因为,所以,故选:D3围棋起源于中国,据先秦典籍世本记载:“尧造围棋,丹朱善之”,至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智,而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联,蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军,比赛结束假设每局比赛甲胜乙的概率都为,且各局比赛的胜负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( )ABCD【答案】C【详解】甲以获胜为事件,甲以获胜为事件,则,互斥,且,所以,故选:C4设为单位向量,且,则( )ABCD【答案】B【详解】因为为单位向量,且,所以,所以,解得,所以.5是抛物线上一点,若点到抛物线的焦点距离为6,则抛物线的准线方程是( )ABCD【答案】A【详解】抛物线的准线方程为其上一点到抛物线的焦点距离为6,则解得,即抛物线的准线方程为故选:A6函数的图象大致是( )A B CD 【答案】A【详解】 ,所以函数是偶函数,关于轴对称,排除CD,当时,故排除B.7阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )A4B8C16D32【答案】C【详解】解:第一次循环:不成立,故进行第二次循环;第二次循环:不成立,故进行第三次循环;第三次循环:成立,结束循环,输出;故选:C.8已知,则,的大小关系是( )ABCD【答案】B【详解】因为,所以则,的大小关系是,故选:B9直线和圆相交于A,B两点,则( )A2B4CD6【答案】B【详解】圆得,所以圆的圆心为,半径为3,则圆心到直线的距离为,.故选:B.10已知双曲线,过其右焦点作轴的垂线,交双曲线于、两点,若双曲线的左焦点在以为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( )ABCD【答案】D【详解】由题可得轴,将代入双曲线可得,以为直径的圆的半径为,双曲线的左焦点在以为直径的圆内,即,即,两边除以可得,解得(舍去)或,故双曲线离心率的取值范围是.11已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )A4BCD9【答案】C【详解】因为各项均为正数的等比数列满足,可得,即解得或(舍去), =当且仅当,即m=2,n=4时,等号成立故 的最小值等于.12已知三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为4,6,12,则这个三棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】A【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,设,则,解得,则长方体的对角线的长为,所以球的直径为,半径长为,球的表面积为.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若实数满足约束条件,则的最大值是_.【答案】【详解】画出可行域表示的区域,如图所示:,设,则t表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,设A为与的交点,所以,由图象可得,当可行域内点A与原点连线的斜率最大,此时,所以的最大值为,14展开式中的系数为_.【答案】8【详解】的展开式通项为,令,解得,则的系数为.15若函数对任意的都有,则的值是_.【答案】4或-4.【详解】函数对任意的都有,故函数的周期为,所以.在中,令,可得:,即,.则.16已知,若对于,使得,则实数m的取值范围是_【答案】【详解】依题意,对于,使得,只需.时,故当,即时,单调递增,当,即时,单调递减.而函数,显然在单调递减.故根据复合函数单调性可知,在单调递减,在上单调递增,故.对于,当时,故是单调递减的,当时,故是单调递增的,故.故依题意知,即.所以实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题12分)中内角所对的边分别为,.(1)求角; (2)若的周长为,外接圆半径为,求的面积.18如图,平面平面,四边形是边长为的正方形,为的中点,点在线段上.(1)求证:平面;(2)若存在点,使得平面与平面所成二面角的余弦值为,求的值.19期末考试结束,高二(1)班班主任张老师从班里的40名学生中,随机抽取10名同学的语文和数学成绩进行抽样分析,研究学生偏科现象.将10名学生编号为1,2,310,再将他们的两科成绩(单位:分)绘成折线图如下:(1)从这10名学生中随机抽取一名学生,求抽取的这名学生两科成绩相差大于10分的概率;(2)从两科成绩均超过70分的学生中随机抽取2人进行访谈,求这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率;(3)设该班语文和数学两科成绩的平均值分别为,方差分别为,根据折线图,试推断和,和的大小关系(直接写出结论,不需证明).20已知椭圆:的左、右焦点分别为,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与圆相切,且与椭圆交于不同的两点,设,求的取值范围.21已知函数,其中.(1)若曲线在点处的切线的斜率为1,求a的值;(2)讨论函数的单调性;(3)若函数的导函数在区间上存在零点,证明:当时,.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点P是曲线与的公共点,求圆心在极轴上,且经过极点和点P的圆的极坐标方程.【详解】(1)先将平方可得,与再与相减可得故曲线的普通方程为,由,可得曲线的直角坐标方程为;(2)将曲线与的方程联立得,解得或,P的直角坐标为或;设所求圆的圆心坐标为,则其方程为,当P的坐标为时,代入圆的方程中,可得,则所求圆的直角坐标方程为:故极坐标方程为;当P的坐标为时,代入圆的方程中,可得 ,则所求圆的直角坐标方程为:故极坐标方程为.23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数,记最小值为k.(1)求k的值;(2)若a,b,c为正数,且.求证:【详解】(1)当时,;当时,;当时,.所以最小值为k.(2)由题得.
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